Lopta (geometrijsko telo)

Lopta je geometrijsko telo ograničeno sferom. Može se definisati kao skup tačaka koje se od zadate tačke O nalaze na udaljenosti manjoj ili jednakoj od zadate dužine r. Pritom se tačka O naziva centrom a r poluprečnikom lopte.

U Euklidovom prostoru, lopta je zapremina omeđena sferama

Definicije

Loptin isečak je geometrijsko telo, dobijeno obrtanjem kružnog isečka oko dijametra (prečnika) koji nema unutrašnjih tačaka sa lukom kružnog isečka. Razlikuju se Loptin isečak prve i druge vrste.

Ako je poluprečnik kružnog isečka smešten na osi obrtanja, tj. na dijametru AK (na slici dole), tada se tako dobijeni loptin isečak BOB' naziva loptin isečak prve vrste.

Ako dijametar PL ne seče luk AB kružnog isečka AOB, tada se dobijeni loptin isečak ABOB'A' naziva loptin isečak druge vrste (slika dole).

Površ osnove L. i. prve vrste je segmentirana, a kod L. i. druge vrste je loptin pojas. Loptin pojas prve vrste je ispupčena (konveksna) figura. Loptin pojas druge vrste je udubljena (konkavna) figura. Loptin pojas je deo loptine (sferne) površi između dve presečene paralelne ravni.

• Loptin pojas drugačije se naziva zonom.
• Loptin pojas predstavlja bočnu površ loptinog sloja.

Loptin segment je deo lopte između dve presečne ravni i jedne od dve njene sferne površi (v. takođe segment). Loptin sloj je deo lopte između presečenih paralelnih ravni.

Loptine funkcije su homogeni harmonijski polinomi n-tog stepena:

$U_{n}=\sum _{p+q+r}a_{p,q,r}x^{p}y^{q}z^{r}$

Ukupan broj linearno nezavisnih homogenih harmonijskih polinoma n-tog stepena, koji su loptine funkcije, jednak je 2n+1. U slučaju sfernih koordinata $(r,v,\phi )$ loptine funkcije izražavaju se preko sfernih funkcija $y_{n}(v,\phi )$ po formuli

$U_{n}=r^{n}y_{n}(v,\phi )$.

Svakoj loptinoj funkciji $U_{n}$ stepena n odgovara loptina funkcija $r^{-2n-1}U_{n}$ (n-1)-og stepena.

Loptine funkcije su rešenja Laplasove jednačine u zadacima matematičke fizike za oblasti ograničene sfernim površinama.

Osobine

Svaki presek lopte sa ravni jeste krug. Površina površi lopte (površina sfere) poluprečnika r određuje se formulom $S=4\pi r^{2}\,$. Zapremina lopte je $V={\frac {4}{3}}\pi r^{3}$.

Lopta sa centrom $O(a,b,c)\,$ i poluprečnikom r je geometrijsko mesto tačaka $(x,y,z)\,$ prostora, čije koordinate zadovoljavaju uslov:

$0\leq {\sqrt {(x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}}}\leq r$.

Ostale osobine

Sferna kalota je deo sfere koji se nalazi sa jedne strani ravni koja seče sferu. Ako je R poluprečnik sfere i H visina odgovarajuće kalote tada je površina kalote $P=2\cdot R\cdot \pi \cdot H$.

Loptin odsečak je deo lopte ograničen ravni koja seče loptu i odgovarajućom kalotom. Kad ravan prolazi kroz centar lopte dobivaju se dve polulopte.

Ako je R poluprečnik lopte i H visina odgovarajućeg odsečka tada je zapremina odsečka

$V={\frac {\pi \cdot H^{2}}{3}}\cdot (3R-H)$

Loptin sloj je deo lopte ograničen dvema paralelnim ravnima koje seku loptu i odgovarajućom zonom.

Ako su $r_{1}\,$ i $r_{2}\,$ poluprečnici osnova i $h\,$ visina loptinog sloja tada je zapremina loptinog sloja

$V={\frac {\pi \cdot h}{6}}\cdot (3r_{1}^{2}+3r_{2}^{2}+h^{2})$

Ako je R poluprečnik lopte tada je njena zapremina $V={\frac {4}{3}}R^{3}\cdot \pi$

Ako je R poluprečnik sfere tada je njena površina $P=4\cdot R^{2}\cdot \pi$

Literatura

• D. J. Smith and M. K. Vamanamurthy, "How small is a unit ball?", Mathematics Magazine, 62 (1989) 101–107.
• "Robin conditions on the Euclidean ball", J. S. Dowker
• "Isometries of the space of convex bodies contained in a Euclidean ball", Peter M. Gruber

Spoljašnje veze

• The Math Forum — Geometry
  • The Math Forum — K–12 Geometry
  • The Math Forum — College Geometry