Kontinuum (matematika)

Kontinuum, kao matematički koncept, može imati više različitih oblika. U geometriji je to prava linija, u analizi skup realnih brojeva, u teoriji skupova partitivni skup prirodnih brojeva ili skup svih beskonačnih nizova nula i jedinica.

Sumarno, postoji šest koncepata kontinuuma: (i) Euklidov,(ii) Kantorov (nem. Georg Cantor), (iii) Dedekindov (nem. Richard Dedekind), (iv) Hilbertov (nem. David Hilbert), (v) skup svih puteva kompletnog binarnog drveta, (vi) skup svih poskupova skupa prirodnih brojeva.

U ovom članku ćemo se posvetiti samo Kantorov konceptu kontinuuma. Kantor definiše kontinuum kao skup svih realnih brojeva $\mathbb {R}$ kao jedinstveno uređeno polje u kome svaki neprazan skup ima najmanju gornju granicu. Osnovno svojstvo kontinuuma je neprebrojivost.

Kardinalnost skupa svih realnih brojeva, u oznaci ${\mathfrak {c}}$, je veća od najmanje beskonačnosti, tj. kardinalnosti skupa prirodnih brojeva $N$ tj. $\aleph _{0}$. S druge strane, ${\mathfrak {c}}=2^{\aleph _{0}}$, tj. kardinalni broj skupa svih realnih brojeva je jednak kardinalnom broju partitivnog skupa sukupa prirodnih brojeva.

Literatura

• Feferman, S. (2008): Conceptions of the Continuum, Standford University
• Jech, T. (2006). Set Theory,The Third Millennium Edition, revised and expanded, 4th edition, Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg-New York