Komutativna algebra

U apstraktnoj algebri, komutativna algebra proučava komutativne prstene, njihove ideale, i module nad takvim prstenima. I algebarska geometrija i algebarska teorija brojeva su zasnovane na komutativnoj algebri. Bitni primeri komutativnih prstena uključuju polinomijalne prstene i algebarske cele brojeve.

Komutativna algebra je glavni tehnički alat u lokalnom proučavanju šema.

Proučavanje prstena koji nisu obavezno komutativni je poznato kao nekomutativna algebra; ona uključuje teoriju prstena, teoriju reprezentacije, i teoriju Banahovih algebri.

Pregled

Komutativna algebra je u suštini proučavanje prstenova koji se javljaju u algebarskoj teoriji brojeva i algebarskoj geometriji.

U algebarskoj teoriji brojeva, prstenovi algebarskih celih brojeva su Dedekindovi prstenovi, koji stoga čine važnu klasu komutativnih prstenova. Razmatranja vezana za modularnu aritmetiku dovela su do ideje prstena za procenu vrednosti. Ograničenje proširenja algebarskog polja na podprstenove dovelo je do pojmova integralnih ekstenzija i integralno zatvorenih domena, kao i do pojma grananja ekstenzije valuacionih prstenova.

Pojam lokalizacije prstena (posebno lokalizacija u odnosu na primarni ideal, lokalizacija koje se sastoje u invertovanju jednog elementa i ukupnog količnika prstena) je jedna od glavnih razlika između komutativne algebre i teorije nekomutativnih prstenova. To dovodi do važne klase komutativnih prstenova, lokalnih prstenova koji imaju samo jedan maksimalni ideal. Skup primarnih ideala komutativnog prstena prirodno je opremljen topologijom, topologijom Zariski. Svi ovi pojmovi se široko koriste u algebarskoj geometriji i osnovni su tehnički alati za definisanje teorije šema, generalizacije algebarske geometrije koju je uveo Grotendik.

Mnogi drugi pojmovi komutativne algebre su pandani geometrijskih pojmova koji se javljaju u algebarskoj geometriji. Ovo je slučaj Krulove dimenzije, primarne dekompozicije, regularnih prstenova, Koen–Makolijevih prstenova, Gorenštajnovih prstenova i mnogih drugih pojmova.

Istorija

Predmet, prvo poznat kao teorija ideala, započet je radom Ričarda Dedekinda o idealima, koji je i sam zasnovan na ranijim radovima Ernsta Kumera i Leopolda Kronekera. Kasnije je Dejvid Hilbert uveo termin prsten da bi generalizovao raniji termin brojni prsten. Hilbert je uveo apstraktniji pristup da zameni konkretnije i računarski orijentisane metode zasnovane na stvarima kao što su kompleksna analiza i klasična teorija invarijanta. Zauzvrat, Hilbert je snažno uticao na Emi Noeter, koja je mnoge ranije rezultate preinačila u smislu stanja uzlaznog lanca, sada poznatog kao Neterov uslov. Druga važna prekretnica bio je rad Hilbertovog učenika Emanuela Laskera, koji je uveo primarne ideale i dokazao prvu verziju Lasker-Noterove teoreme.

Glavna figura odgovorna za rađanje komutativne algebre kao zrelog subjekta bio je Volfgang Krul, koji je uveo osnovne pojmove lokalizacije i kompletiranja prstena, kao i regularnih lokalnih prstenova. On je uspostavio koncept Krulove dimenzije prstena, prvo za Neterove prstenove pre nego što je nastavio da proširi svoju teoriju na opšte vrednovanje prstenova i Krulove prstenove. Do danas, teorema Krulovih glavnih ideala se široko smatra najvažnijom temeljnom teoremom u komutativnoj algebri. Ovi rezultati su utrli put za uvođenje komutativne algebre u algebarsku geometriju, ideja koja bi revolucionirala ovaj drugi predmet.

Veliki deo savremenog razvoja komutativne algebre stavlja naglasak na module. Oba ideala R-algebre prstena i R-algebre su posebni slučajevi R-modula, tako da teorija modula obuhvata i teoriju ideala i teoriju proširenja prstena. Iako je već bio u začetku u Kronekerovom radu, savremeni pristup komutativnoj algebri koji koristi teoriju modula se obično pripisuje Krulu i Noteru.

Glavni alati i rezultati

Neterovi prstenovi

Glavni članak: Neterovi prstenovi

U matematici, tačnije u oblasti moderne algebre poznate kao teorija prstenova, Neterov prsten, nazvani po Emi Neter, je prsten u kojem svaki neprazan skup ideala ima maksimalni element. Ekvivalentno, prsten je Neterov ako zadovoljava uslov uzlaznog lanca na idealima; to jest, s obzirom na bilo koji lanac:

$I_{1}\subseteq \cdots I_{k-1}\subseteq I_{k}\subseteq I_{k+1}\subseteq \cdots$

postoji n takvo da:

$I_{n}=I_{n+1}=\cdots$

Da bi komutativni prsten bio Neterov, dovoljno je da je svaki primarni ideal prstena konačno generisan. (Ovaj rezultat je zasluga I. S. Kohena.)

Pojam Neterovog prstena je od fundamentalnog značaja u komutativnoj i u nekomutativnoj teoriji prstena, zbog uloge koju ima u pojednostavljivanju idealne strukture prstena. Na primer, prsten celih brojeva i polinomski prsten nad poljem su Neterovi prstenovi, i prema tome, takve teoreme kao što su Lasker–Neterova teorema, Krulova teorema preseka i Hilbertova teorema osnove važe za njih. Štaviše, ako je prsten Neterov, onda on zadovoljava uslov opadajućeg lanca na prostim idealima. Ovo svojstvo sugeriše duboku teoriju dimenzija za Neterove prstenove počevši od pojma Krulove dimenzije.

Hilbertova teorema osnova

Glavni članak: Hilbertova teorema osnova

Teorema — Ako je R levi (odnosno desni) Neterov prsten, onda je polinomski prsten R[X] takođe levi (odnosno desni) Neterov prsten.

Hilbertova teorema osnova ima neke neposredne posledice:

• Indukcijom se može pokazati da je $R[X_{0},\dotsc ,X_{n-1}]$ takođe biti Neterov.
• Pošto se bilo koja afina varijanta nad $R^{n}$ (tj. lokusni skup kolekcije polinoma) može napisati kao lokus ideala ${\mathfrak {a}}\subset R[X_{0},\dotsc ,X_{n-1}]$ i dalje kao lokus njegovih generatora, te sledi da je svaka afina varijanta lokus konačnog broja polinoma – tj. presek konačnog broja hiperpovršina.
• Ako je $A$ konačno generisana $R$-algebra, onda se zna da je $A\simeq R[X_{0},\dotsc ,X_{n-1}]/{\mathfrak {a}}$, gde je ${\mathfrak {a}}$ idealan. Osnovna teorema implicira da ${\mathfrak {a}}$ mora biti konačno generisano, recimo ${\mathfrak {a}}=(p_{0},\dotsc ,p_{N-1})$, tj. $A$ je konačno predstavljeno.

Primarna dekompozicija

Glavni članak: Primarna dekompozicija

Za ideal Q prstena se kaže da je primaran ako je Q pravi i kad god je xy ∈ Q, ili x ∈ Q ili yⁿ ∈ Q za neki pozitivan ceo broj n. U Z, primarni ideali su upravo ideali oblika (p^e) gde je p prost, a e pozitivan ceo broj. Dakle, primarna dekompozicija (n) odgovara reprezentaciji (n) kao preseka konačnog broja primarnih ideala.

Lasker-Neterova teorema, ovde data, može se posmatrati kao izvesna generalizacija osnovne aritmetičke teoreme:

Lasker-Neterova teorema — Neka je R komutativni Neterov prsten i neka je I ideal R. Tada se I može napisati kao presek konačnog broja primarnih ideala sa različitim radikalima; stoga je:

$I=\bigcap _{i=1}^{t}Q_{i}$

sa Q_i primaran za svako i i Rad(Q_i) ≠ Rad(Q_j) za i ≠ j. Štaviše, ako je:

$I=\bigcap _{i=1}^{k}P_{i}$

je dekompozicija I sa Rad(P_i) ≠ Rad(P_j) za i ≠ j, a obe dekompozicije I su iredundantne (što znači da nema odgovarajućeg podskupa bilo {Q₁, ..., Q_t} ili {P₁, ..., P_k} koji daje presek jednak I), t = k i (nakon eventualnog prenumerisanja Q_i) Rad(Q_i) = Rad(P_i) za svako i.

Za bilo koju primarnu dekompoziciju I, skup svih radikala, odnosno skup {Rad(Q₁), ..., Rad(Q_t)} ostaje isti prema Lasker-Noterovoj teoremi. U stvari, ispostavlja se da je (za Neterov prsten) set upravo pridruživač modula R/I; odnosno skup svih anihilatora R/I (gledanih kao modul nad R) koji su prosti.

Literatura

• Ciliberto, Ciro; Hirzebruch, Friedrich; Miranda, Rick; Teicher, Mina, ur. (2001). Applications of Algebraic Geometry to Coding Theory, Physics and Computation (na jeziku: engleski). Dordrecht: Springer Netherlands. ISBN 978-94-010-1011-5. 
• Michael Atiyah & Ian G. Macdonald, Introduction to Commutative Algebra, Massachusetts: Addison-Wesley Publishing, 1969.
• Bourbaki, Nicolas, Commutative algebra. Chapters 1--7. Translated from the French. Reprint of the 1989 English translation. Elements of Mathematics (Berlin). Springer-Verlag, Berlin, 1998. xxiv+625 pp. ISBN 3-540-64239-0.
• Bourbaki, Nicolas, Éléments de mathématique. Algèbre commutative. Chapitres 8 et 9. (Elements of mathematics. Commutative algebra. Chapters 8 and 9) Reprint of the 1983 original. Springer, Berlin, 2006. ii+200 pp. ISBN 978-3-540-33942-7.
• Eisenbud, David (1995). Commutative algebra with a view toward algebraic geometry. Graduate Texts in Mathematics. 150. New York: Springer-Verlag. xvi+785. ISBN 0-387-94268-8. MR 1322960. 
• Rémi Goblot, "Algèbre commutative, cours et exercices corrigés", 2e édition, Dunod. 2001. ISBN 2-10-005779-0.
• Ernst Kunz, "Introduction to Commutative algebra and algebraic geometry", BirkhauseISBN 0-8176-3065-1. str. 1985,.
• Matsumura, Hideyuki, Commutative algebra. Second edition. Mathematics Lecture Note Series, 56. Benjamin/Cummings Publishing Co., Inc., Reading, Mass., 1980. xv+313 pp. ISBN 0-8053-7026-9.
• Matsumura, Hideyuki (1989). Commutative Ring Theory. Second edition. Translated from the Japanese. Cambridge Studies in Advanced Mathematics, Cambridge, UK: Cambridge University Press. ISBN 0-521-36764-6. 
• Nagata, Masayoshi, Local rings. Interscience Tracts in Pure and Applied Mathematics, No. 13. Interscience Publishers a division of John Wiley and Sons, New York-London 1962 xiii+234 pp.
• Miles Reid, Undergraduate Commutative Algebra (London Mathematical Society Student Texts), Cambridge, UK : Cambridge University Press, 1996.
• Jean-Pierre Serre, Local algebra. Translated from the French by CheeWhye Chin and revised by the author. (Original title: Algèbre locale, multiplicités) Springer Monographs in Mathematics. Springer-Verlag, Berlin, 2000. xiv+128 pp. ISBN 3-540-66641-9
• Sharp, R. Y., Steps in commutative algebra. Second edition. London Mathematical Society Student Texts, 51. Cambridge University Press, Cambridge, 2000. xii+355 pp. ISBN 0-521-64623-5
• Zariski, Oscar; Samuel, Pierre, Commutative algebra. Vol. 1, 2. With the cooperation of I. S. Cohen. Corrected reprinting of the 1958, 1960 edition. Graduate Texts in Mathematics, No. 28, 29. Springer-Verlag, New York-Heidelberg-Berlin, 1975.
• Anderson, Frank W.; Fuller, Kent R. (1992), Rings and categories of modules, Graduate Texts in Mathematics, 13 (2 izd.), New York: Springer-Verlag, str. x+376, ISBN 0-387-97845-3, MR 1245487, doi:10.1007/978-1-4612-4418-9 
• Nicolas Bourbaki, Commutative algebra
• Formanek, Edward; Jategaonkar, Arun Vinayak (1974). „Subrings of Noetherian rings”. Proceedings of the American Mathematical Society. 46 (2): 181—186. doi:10.2307/2039890 . 
• Hotta, Ryoshi; Takeuchi, Kiyoshi; Tanisaki, Toshiyuki (2008), D-modules, perverse sheaves, and representation theory, Progress in Mathematics, 236, Birkhäuser, ISBN 978-0-8176-4363-8, MR 2357361, Zbl 1292.00026, doi:10.1007/978-0-8176-4523-6 
• Lam, Tsit Yuen (2001). A first course in noncommutative rings. Graduate Texts in Mathematics. 131 (2nd izd.). New York: Springer. str. 19. ISBN 0387951830. MR 1838439. doi:10.1007/978-1-4419-8616-0. 
• Chapter X of Lang, Serge (1993), Algebra (Third izd.), Reading, Mass.: Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-55540-0, Zbl 0848.13001 
• Matsumura, Hideyuki (1989), Commutative Ring Theory, Cambridge Studies in Advanced Mathematics (2nd izd.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-36764-6 
• Hochster, Melvin (2007), „Homological conjectures, old and new”, Illinois J. Math., 51 (1): 151—169, doi:10.1215/ijm/1258735330  
• Jacobson, Nathan (1945), „Structure theory of algebraic algebras of bounded degree”, Annals of Mathematics, 46 (4): 695—707, ISSN 0003-486X, JSTOR 1969205, doi:10.2307/1969205 
• Lyubeznik, Gennady (1989), „A survey of problems and results on the number of defining equations”, Representations, resolutions and intertwining numbers, str. 375—390, Zbl 0753.14001 
• Pinter-Lucke, James (2007), „Commutativity conditions for rings: 1950–2005”, Expositiones Mathematicae, 25 (2): 165—174, ISSN 0723-0869, doi:10.1016/j.exmath.2006.07.001  
• Atiyah, Michael; Macdonald, I. G. (1969), Introduction to commutative algebra, Addison-Wesley Publishing Co. 
• Balcerzyk, Stanisław; Józefiak, Tadeusz (1989), Commutative Noetherian and Krull rings, Ellis Horwood Series: Mathematics and its Applications, Chichester: Ellis Horwood Ltd., ISBN 978-0-13-155615-7 
• Balcerzyk, Stanisław; Józefiak, Tadeusz (1989), Dimension, multiplicity and homological methods, Ellis Horwood Series: Mathematics and its Applications., Chichester: Ellis Horwood Ltd., ISBN 978-0-13-155623-2 
• Kaplansky, Irving (1974), Commutative rings (Revised izd.), University of Chicago Press, MR 0345945 
• Nagata, Masayoshi (1975) [1962], Local rings, Interscience Tracts in Pure and Applied Mathematics, 13, Interscience Publishers, str. xiii+234, ISBN 978-0-88275-228-0, MR 0155856 
• Zariski, Oscar; Samuel, Pierre (1958—60), Commutative Algebra I, II, University series in Higher Mathematics, Princeton, N.J.: D. van Nostrand, Inc.  (Reprinted 1975-76 by Springer as volumes 28-29 of Graduate Texts in Mathematics.)
• Eisenbud, David (1995), Commutative algebra, Graduate Texts in Mathematics, 150, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94268-1, MR 1322960, doi:10.1007/978-1-4612-5350-1 , esp. section 3.3.
• Hermann, Grete (1926), „Die Frage der endlich vielen Schritte in der Theorie der Polynomideale”, Mathematische Annalen (na jeziku: nemački), 95: 736—788, doi:10.1007/BF01206635 . English translation in Communications in Computer Algebra 32/3 (1998): 8–30.
• Lasker, E. (1905), „Zur Theorie der Moduln und Ideale”, Math. Ann., 60: 19—116, doi:10.1007/BF01447495 
• Markov, V.T. (2001). „Primary decomposition”. Ur.: Hazewinkel Michiel. Encyclopaedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1556080104.