U matematičkoj analizi , grani matematike , izvod je mera kako (koliko brzo) funkcija menja svoje vrednosti kada joj se ulazne vrednosti menjaju. Izvod krive u nekoj tački predstavlja koeficijent pravca tangente date krive u toj tački.
Grafik funkcije, nacrtan crnom, i tangentna linija te funkcije, nacrtana crvenom. Nagib tangente prema x-osi je jednak izvodu funkcije u označenoj tački. Izvod funkcije f(x) u tački a se definiše kao:
f
′
(
x
)
|
x
=
a
=
lim
Δ
x
→
0
f
(
a
+
Δ
x
)
−
f
(
a
)
Δ
x
{\displaystyle f'(x)|_{x=a}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(a+\Delta x)-f(a)}{\Delta x}}}
ukoliko limes postoji. Inače, izvod možemo shvatiti i kao linearni operator .
Postupak pronalaženja izvoda funkcije se naziva diferencijacijom. Diferencijacija proces obratan u odnosu na integraljenje .
uredi
Simbole
d
x
{\displaystyle dx}
d
y
{\displaystyle dy}
d
y
d
x
{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}}
Gotfrid Vilhelm Lajbnic godine 1675. Još se često koristi kada se funkcija y = f (x )
d
y
d
x
,
d
f
d
x
,
или
d
d
x
f
,
{\displaystyle {\frac {dy}{dx}},\quad {\frac {df}{dx}},{\text{ или }}{\frac {d}{dx}}f,}
i nekada se gledao kao infinitezimalni količnik. Izvodi višeg reda se obeležavaju notacijom
d
n
y
d
x
n
,
d
n
f
d
x
n
,
или
d
n
d
x
n
f
{\displaystyle {\frac {d^{n}y}{dx^{n}}},\quad {\frac {d^{n}f}{dx^{n}}},{\text{ или }}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}f}
za n -ti izvod funkcije
y
=
f
(
x
)
{\displaystyle y=f(x)}
d
2
y
d
x
2
=
d
d
x
(
d
y
d
x
)
.
{\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}={\frac {d}{dx}}\left({\frac {dy}{dx}}\right).}
Sa Lajbnicovom notacijom možemo zapisati izvod funkcije
y
{\displaystyle y}
x
=
a
{\displaystyle x=a}
d
y
d
x
|
x
=
a
=
d
y
d
x
(
a
)
.
{\displaystyle \left.{\frac {dy}{dx}}\right|_{x=a}={\frac {dy}{dx}}(a).}
Lajbnicova notacija dozvoljava preciziranje promenljive po kojoj se vrši izvod, što je bitno u parcijalnim izvodima . Takođe olakšava pamćenje formule za izvod složene funkcije
d
y
d
x
=
d
y
d
u
⋅
d
u
d
x
.
{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{du}}\cdot {\frac {du}{dx}}.}
uredi
Najčešći način zapisivanja izvoda je koristeći Lagranžovu notaciju koja koristi oznaku prim ('), tako da je izvod funkcije
f
{\displaystyle f}
f
′
{\displaystyle f'}
(
f
′
)
′
=
f
″
{\displaystyle (f')'=f''}
(
f
″
)
′
=
f
‴
.
{\displaystyle (f'')'=f'''.}
Da bi se označio red izvoda iznad 3, neki autori koriste rimske brojeve u natpisu, a neki arapske brojeve u zagradama:
f
i
v
{\displaystyle f^{\mathrm {iv} }}
f
(
4
)
.
{\displaystyle f^{(4)}.}
n -ti izvod se označava kao
f
(
n
)
{\displaystyle f^{(n)}}
Njutnova notacija za diferencijaciju (takođe zvana tačkasti zapis za diferencijaciju) stavlja tačku preko zavisne promenljive. Odnosno, ako je y funkcija od t , tada je derivat od y u odnosu na t
y
˙
{\displaystyle {\dot {y}}}
Viši derivati su predstavljeni pomoću više tačaka, kao u
y
¨
,
y
.
.
.
{\displaystyle {\ddot {y}},{\overset {...}{y}}}
Njutnov zapis se obično koristi kada nezavisna promenljiva označava vreme . Ako je lokacija y t , tada i
y
˙
{\displaystyle {\dot {y}}}
brzinu ,[ 1]
y
¨
{\displaystyle {\ddot {y}}}
[ 2]
uredi
U svakoj tački, izvod je nagib tangente na krivu. Crvena prava je uvek tangenta plave krive; njen nagib je izvod. Izvodi su koristan alat za ispitivanje grafika funkcija. Sve tačke unutar domena realnih funkcija koje predstavljaju lokalne ekstremume imaju za prvi izvod nulu. Međutim, nisu sve kritične tačke lokalni ekstremumi; na primer f (x ) = x 3 ima kritičnu tačku u x = 0, ali nema ni lokalni maksimum, ni lokalni minimum u ovoj tački.
Drugi izvod funkcije se može koristiti za ispitivanje konveksnosti funkcije . Prevojne tačke (tačke u kojima funkcija prelazi iz konveksnog u konkavni oblik) imaju za drugi izvod nulu.
uredi
Ako je funkcija f diferencijabilna u tački x 0 , onda će koeficijent pravca tangente krive y = f (x ) u tački T ( x 0 , f (x 0 ) ), biti jednaka tg α = f ' (x 0 ), gde je α ugao koji tangenta zaklapa sa pozitivnim delom x -ose, a jednačina iste tangente će glasiti:
y - y 0 = f ' (x 0 ) · ( x − x 0 ),gde je y 0 = f (x 0 ).
Jednačina normale u datoj tački T će biti:
y −y 0 = −1/f ' (x 0 ) · ( x −x 0 )
Izvodi se mogu teoretski računati po definiciji u svakom primeru, ali se u praksi često koriste već gotovi računi poznatijih, jednostavnijih funkcija. Izvodi složenijih funkcija se računaju pomoću određenih pravila.
uredi
(
x
n
)
′
=
lim
Δ
x
→
0
(
(
x
+
Δ
x
)
n
−
x
n
Δ
x
)
{\displaystyle {\bigl (}x^{n}{\bigr )}'=\lim _{\Delta x\to 0}{\Bigl (}{\frac {(x+\Delta x)^{n}-x^{n}}{\Delta x}}{\Bigr )}}
a
n
−
b
n
=
(
a
−
b
)
(
a
n
−
1
+
a
n
−
2
b
+
a
n
−
3
b
2
+
…
+
a
2
b
n
−
3
+
a
b
n
−
2
+
b
n
−
1
)
{\displaystyle a^{n}-b^{n}={\bigl (}a-b{\bigr )}{\bigl (}a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^{2}+\ldots +a^{2}b^{n-3}+ab^{n-2}+b^{n-1}{\bigr )}}
(
x
+
Δ
x
)
n
−
x
n
=
(
(
x
+
Δ
x
)
−
x
)
(
(
x
+
Δ
x
)
n
−
1
+
(
x
+
Δ
x
)
n
−
2
x
+
(
x
+
Δ
x
)
n
−
3
x
2
+
…
+
(
x
+
Δ
x
)
2
x
n
−
3
+
(
x
+
Δ
x
)
x
n
−
2
+
x
n
−
1
)
{\displaystyle (x+\Delta x)^{n}-x^{n}={\bigl (}(x+\Delta x)-x{\bigr )}{\bigl (}(x+\Delta x)^{n-1}+(x+\Delta x)^{n-2}x+(x+\Delta x)^{n-3}x^{2}+\ldots +(x+\Delta x)^{2}x^{n-3}+(x+\Delta x)x^{n-2}+x^{n-1}{\bigr )}}
(
x
+
Δ
x
)
n
−
x
n
≈
n
Δ
x
x
n
−
1
{\displaystyle (x+\Delta x)^{n}-x^{n}\thickapprox n\Delta xx^{n-1}}
(
x
n
)
′
=
lim
Δ
x
→
0
(
n
Δ
x
x
n
−
1
Δ
x
)
=
n
x
n
−
1
{\displaystyle {\bigl (}x^{n}{\bigr )}'=\lim _{\Delta x\to 0}{\Bigl (}{\frac {n\Delta xx^{n-1}}{\Delta x}}{\Bigr )}=nx^{n-1}}
(
e
x
)
,
=
l
i
m
Δ
x
→
0
(
e
(
x
+
Δ
x
)
−
e
x
Δ
x
)
{\displaystyle {\Bigl (}e^{x}{\Bigr )}^{,}=\ lim_{\Delta x\to 0}{\Bigl (}{\frac {e^{(x+\Delta x)}-e^{x}}{\Delta x}}{\Bigr )}}
e
=
lim
n
→
∞
(
1
+
1
n
)
n
=
lim
h
→
0
(
1
+
h
)
1
h
{\displaystyle e=\lim _{n\to \infty }{\bigl (}1+{\frac {1}{n}}{\bigr )}^{n}=\lim _{h\to 0}{\bigl (}1+h{\bigr )}^{\frac {1}{h}}}
e
(
x
+
Δ
x
)
−
e
x
Δ
x
=
e
x
e
Δ
x
−
1
Δ
x
{\displaystyle {\frac {e^{(x+\Delta x)}-e^{x}}{\Delta x}}=e^{x}{\frac {e^{\Delta x}-1}{\Delta x}}}
e
Δ
x
−
1
=
h
→
Δ
x
→
0
0
{\displaystyle e^{\Delta x}-1=h{\xrightarrow[{\Delta x\rightarrow 0}]{}}0}
Δ
x
=
l
n
(
1
+
h
)
{\displaystyle \Delta x=ln(1+h)}
e
Δ
x
−
1
Δ
x
=
h
l
n
(
1
+
h
)
=
1
l
n
(
1
+
h
)
1
h
{\displaystyle {\frac {e^{\Delta x}-1}{\Delta x}}={\frac {h}{ln(1+h)}}={\frac {1}{ln(1+h)^{\frac {1}{h}}}}}
Konačno:
(
e
x
)
,
=
e
x
{\displaystyle {\Bigl (}e^{x}{\Bigr )}^{,}=e^{x}}
(
l
n
(
x
)
)
,
=
lim
Δ
x
→
0
(
l
n
(
x
+
Δ
x
)
−
l
n
(
x
)
Δ
x
)
{\displaystyle {\Bigl (}ln(x){\Bigr )}^{,}=\lim _{\Delta x\to 0}{\Bigl (}{\frac {ln(x+\Delta x)-ln(x)}{\Delta x}}{\Bigr )}}
l
n
(
x
+
Δ
x
)
−
l
n
(
x
)
=
l
n
(
x
+
Δ
x
x
)
=
l
n
(
1
+
Δ
x
x
)
{\displaystyle ln(x+\Delta x)-ln(x)=ln{\bigl (}{\frac {x+\Delta x}{x}}{\bigr )}=ln{\Bigl (}1+{\frac {\Delta x}{x}}{\Bigr )}}
l
n
(
x
+
Δ
x
)
−
l
n
(
x
)
Δ
x
=
1
x
l
n
(
1
+
Δ
x
x
)
Δ
x
x
{\displaystyle {\frac {ln(x+\Delta x)-ln(x)}{\Delta x}}={\frac {1}{x}}{\frac {ln{\Bigl (}1+{\frac {\Delta x}{x}}{\Bigr )}}{\frac {\Delta x}{x}}}}
lim
Δ
x
→
0
(
l
n
(
1
+
Δ
x
x
)
Δ
x
x
)
=
1
{\displaystyle \lim _{\Delta x\to 0}{\Bigl (}{\frac {ln{\Bigl (}1+{\frac {\Delta x}{x}}{\Bigr )}}{\frac {\Delta x}{x}}}{\Bigr )}=1}
(
l
n
(
x
)
)
,
=
1
x
{\displaystyle {\Bigl (}ln(x){\Bigr )}^{,}={\frac {1}{x}}}
(
a
x
)
,
=
l
i
m
Δ
x
→
0
(
a
(
x
+
Δ
x
)
−
a
x
Δ
x
)
{\displaystyle {\Bigl (}a^{x}{\Bigr )}^{,}=\ lim_{\Delta x\to 0}{\Bigl (}{\frac {a^{(x+\Delta x)}-a^{x}}{\Delta x}}{\Bigr )}}
a
(
x
+
Δ
x
)
−
a
x
Δ
x
=
a
x
a
Δ
x
−
1
Δ
x
{\displaystyle {\frac {a^{(x+\Delta x)}-a^{x}}{\Delta x}}=a^{x}{\frac {a^{\Delta x}-1}{\Delta x}}}
a
Δ
x
−
1
=
h
{\displaystyle a^{\Delta x}-1=h}
Δ
x
=
l
o
g
a
(
1
+
h
)
=
l
n
(
1
+
h
)
l
n
a
{\displaystyle \Delta x=log_{a}(1+h)={\frac {ln(1+h)}{lna}}}
(
a
x
)
,
=
a
x
l
n
(
a
)
{\displaystyle {\Bigl (}a^{x}{\Bigr )}^{,}=a^{x}ln(a)}
(
l
o
g
a
(
x
)
)
,
=
lim
Δ
x
→
0
(
l
o
g
a
(
x
+
Δ
x
)
−
l
o
g
a
(
x
)
Δ
x
)
{\displaystyle {\Bigl (}log_{a}(x){\Bigr )}^{,}=\lim _{\Delta x\to 0}{\Bigl (}{\frac {log_{a}(x+\Delta x)-log_{a}(x)}{\Delta x}}{\Bigr )}}
l
o
g
a
(
x
+
Δ
x
)
−
l
o
g
a
(
x
)
=
l
o
g
a
(
x
+
Δ
x
x
)
=
l
o
g
a
(
1
+
Δ
x
x
)
{\displaystyle log_{a}(x+\Delta x)-log_{a}(x)=log_{a}{\bigl (}{\frac {x+\Delta x}{x}}{\bigr )}=log_{a}{\Bigl (}1+{\frac {\Delta x}{x}}{\Bigr )}}
l
o
g
a
(
1
+
Δ
x
x
)
=
l
n
(
1
+
Δ
x
x
)
l
n
a
{\displaystyle log_{a}{\Bigl (}1+{\frac {\Delta x}{x}}{\Bigr )}={\frac {ln{\Bigl (}1+{\frac {\Delta x}{x}}{\Bigr )}}{lna}}}
(
l
o
g
a
(
x
)
)
,
=
1
x
l
n
a
{\displaystyle {\Bigl (}log_{a}(x){\Bigr )}^{,}={\frac {1}{xlna}}}
(
s
i
n
(
x
)
)
,
=
lim
Δ
x
→
0
(
s
i
n
(
x
+
Δ
x
)
−
sin
x
Δ
x
)
{\displaystyle {\Bigl (}sin(x){\Bigr )}^{,}=\lim _{\Delta x\to 0}{\Bigl (}{\frac {sin(x+\Delta x)-\sin {x}}{\Delta x}}{\Bigr )}}
s
i
n
(
α
)
−
s
i
n
(
β
)
=
2
s
i
n
(
α
−
β
2
)
c
o
s
(
α
+
β
2
)
{\displaystyle sin(\alpha )-sin(\beta )=2sin({\frac {\alpha -\beta }{2}})cos({\frac {\alpha +\beta }{2}})}
s
i
n
(
x
+
Δ
x
)
−
sin
x
Δ
x
=
2
s
i
n
Δ
x
2
Δ
x
c
o
s
(
x
+
Δ
x
2
)
{\displaystyle {\frac {sin(x+\Delta x)-\sin {x}}{\Delta x}}=2{\frac {sin{\frac {\Delta x}{2}}}{\Delta x}}cos(x+{\frac {\Delta x}{2}})}
sin
x
x
→
x
→
0
1
⇒
{\displaystyle {\frac {\sin x}{x}}{\xrightarrow[{x\rightarrow 0}]{}}1\Rightarrow }
(
s
i
n
(
x
)
)
,
=
cos
x
{\displaystyle {\Bigl (}sin(x){\Bigr )}^{,}=\cos x}
(
c
o
s
(
x
)
)
,
=
lim
Δ
x
→
0
(
c
o
s
(
x
+
Δ
x
)
−
cos
x
Δ
x
)
{\displaystyle {\Bigl (}cos(x){\Bigr )}^{,}=\lim _{\Delta x\to 0}{\Bigl (}{\frac {cos(x+\Delta x)-\cos {x}}{\Delta x}}{\Bigr )}}
c
o
s
(
α
)
−
c
o
s
(
β
)
=
−
2
s
i
n
(
α
−
β
2
s
i
n
(
α
+
β
2
)
{\displaystyle cos(\alpha )-cos(\beta )=-2sin({\frac {\alpha -\beta }{2}}sin({\frac {\alpha +\beta }{2}})}
c
o
s
(
x
+
Δ
x
)
−
cos
x
Δ
x
=
−
2
s
i
n
Δ
x
2
Δ
x
s
i
n
(
x
+
Δ
x
2
)
{\displaystyle {\frac {cos(x+\Delta x)-\cos {x}}{\Delta x}}=-2{\frac {sin{\frac {\Delta x}{2}}}{\Delta x}}sin(x+{\frac {\Delta x}{2}})}
(
c
o
s
(
x
)
)
,
=
−
sin
x
{\displaystyle {\Bigl (}cos(x){\Bigr )}^{,}=-\sin x}
(
t
a
n
(
x
)
)
,
=
(
sin
x
cos
x
)
,
{\displaystyle {\Bigl (}tan(x){\Bigr )}^{,}={\Bigl (}{\frac {\sin {x}}{\cos {x}}}{\Bigr )}^{,}}
=
(
sin
x
)
,
cos
x
−
sin
x
(
cos
x
)
,
cos
x
2
{\displaystyle {\frac {{\Bigl (}\sin {x}{\Bigr )}^{,}\cos {x}-\sin {x}{\Bigl (}\cos {x}{\Bigr )}^{,}}{\cos {x}^{2}}}}
sin
x
2
+
cos
x
2
cos
x
2
=
1
cos
x
2
{\displaystyle {\frac {\sin {x}^{2}+\cos {x}^{2}}{\cos {x}^{2}}}={\frac {1}{\cos {x}^{2}}}}
(
c
o
t
(
x
)
)
,
=
(
cos
x
sin
x
)
,
{\displaystyle {\Bigl (}cot(x){\Bigr )}^{,}={\Bigl (}{\frac {\cos {x}}{\sin {x}}}{\Bigr )}^{,}}
=
(
cos
x
)
,
sin
x
−
cos
x
(
sin
x
)
,
sin
x
2
{\displaystyle {\frac {{\Bigl (}\cos {x}{\Bigr )}^{,}\sin {x}-\cos {x}{\Bigl (}\sin {x}{\Bigr )}^{,}}{\sin {x}^{2}}}}
−
sin
x
2
−
cos
x
2
sin
x
2
=
−
1
sin
x
2
{\displaystyle {\frac {-\sin {x}^{2}-\cos {x}^{2}}{\sin {x}^{2}}}={\frac {-1}{\sin {x}^{2}}}}
uredi
Funkcija
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
Izvod
f
′
(
x
)
{\displaystyle f'(x)}
Funkcija
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
Izvod
f
′
(
x
)
{\displaystyle f'(x)}
sin
x
{\displaystyle \sin x}
cos
x
{\displaystyle \cos x}
sh
x
{\displaystyle {\text{sh}}\,x}
ch
x
{\displaystyle {\text{ch}}\,x}
cos
x
{\displaystyle \cos x}
−
sin
x
{\displaystyle -\sin x}
ch
x
{\displaystyle {\text{ch}}\,x}
sh
x
{\displaystyle {\text{sh}}\,x}
tg
x
{\displaystyle {\text{tg}}\,x}
1
cos
2
x
{\displaystyle {\frac {1}{\cos ^{2}x}}}
th
x
{\displaystyle {\text{th}}\,x}
1
ch
2
x
{\displaystyle {\frac {1}{{\text{ch}}^{2}x}}}
ctg
x
{\displaystyle {\text{ctg}}\,x}
−
1
sin
2
x
{\displaystyle -{\frac {1}{\sin ^{2}x}}}
cth
x
{\displaystyle {\text{cth}}\,x}
−
1
sh
2
x
{\displaystyle -{\frac {1}{{\text{sh}}^{2}x}}}
arcsin
x
{\displaystyle \arcsin x}
1
1
−
x
2
{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}
Arsh
x
{\displaystyle {\text{Arsh}}\,x}
1
1
+
x
2
{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}}
arccos
x
{\displaystyle \arccos x}
−
1
1
−
x
2
{\displaystyle -{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}
Arch
x
{\displaystyle {\text{Arch}}\,x}
1
x
2
−
1
{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}}
arctg
x
{\displaystyle {\text{arctg}}\,x}
1
1
+
x
2
{\displaystyle {\frac {1}{1+x^{2}}}}
Arth
x
{\displaystyle {\text{Arth}}\,x}
1
1
−
x
2
{\displaystyle {\frac {1}{1-x^{2}}}}
arcctg
x
{\displaystyle {\text{arcctg}}\,x}
−
1
1
+
x
2
{\displaystyle -{\frac {1}{1+x^{2}}}}
Arcth
x
{\displaystyle {\text{Arcth}}\,x}
1
1
−
x
2
{\displaystyle {\frac {1}{1-x^{2}}}}
e
x
{\displaystyle e^{x}}
e
x
{\displaystyle e^{x}}
a
x
{\displaystyle a^{x}}
a
x
ln
a
{\displaystyle a^{x}\ln a}
ln
(
x
)
{\displaystyle \ln(x)}
1
x
{\displaystyle {\frac {1}{x}}}
1
x
{\displaystyle {\frac {1}{x}}}
−
1
x
2
{\displaystyle -{\frac {1}{x^{2}}}}
log
a
x
{\displaystyle \log _{a}x}
1
x
ln
a
{\displaystyle {\frac {1}{x\ln a}}}
|
x
|
{\displaystyle |x|}
x
|
x
|
{\displaystyle {\frac {x}{|x|}}}
x
{\displaystyle {\sqrt {x}}}
1
2
x
{\displaystyle {\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}}
x
n
{\displaystyle x^{n}}
n
x
n
−
1
{\displaystyle nx^{n-1}}
uredi
Data je složena funkcija
y
=
f
(
u
)
{\displaystyle y=f(u)}
u
=
g
(
x
)
{\displaystyle u=g(x)}
Izvod je jednak proizvodu izvoda pojedinačnih delova
(
f
∘
g
)
′
(
x
)
=
(
f
(
g
(
x
)
)
′
=
f
′
(
u
)
g
′
(
x
)
{\displaystyle (f\circ g)'(x)=(f(g(x))'=f'(u)g'(x)}
Primer:
[
s
i
n
(
x
2
)
]
′
=
s
i
n
′
(
x
2
)
∗
(
x
2
)
′
=
2
x
c
o
s
(
x
2
)
{\displaystyle [sin(x^{2})]'=sin'(x^{2})*(x^{2})'=2xcos(x^{2})}
Zbir izvoda je izvod zbira
u
′
(
x
)
±
v
′
(
x
)
=
[
u
(
x
)
±
v
(
x
)
]
′
{\displaystyle u'(x)\pm v'(x)=[u(x)\pm v(x)]'}
[
u
(
x
)
v
(
x
)
]
′
=
u
′
(
x
)
v
(
x
)
+
u
(
x
)
v
′
(
x
)
{\displaystyle [u(x)v(x)]'=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)}
Specijalan slučaj je izvod funkcije pomnožene konstantom
[
c
u
(
x
)
]
′
=
c
′
u
(
x
)
+
c
u
′
(
x
)
=
0
∗
u
(
x
)
+
c
u
′
(
x
)
=
c
u
′
(
x
)
{\displaystyle [cu(x)]'=c'u(x)+cu'(x)=0*u(x)+cu'(x)=cu'(x)}
[
u
(
x
)
v
(
x
)
]
′
=
u
′
(
x
)
v
(
x
)
−
u
(
x
)
v
′
(
x
)
[
v
(
x
)
]
2
{\displaystyle {\bigl [}{\frac {u(x)}{v(x)}}{\bigr ]}'={\frac {u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{[v(x)]^{2}}}}
uredi
Drugi izvod se definiše kao izvod prvog izvoda:
f
″
(
x
)
|
x
=
a
=
(
f
′
(
x
)
|
x
=
a
)
′
{\displaystyle f''(x)|_{x=a}=(f'(x)|_{x=a})'\,}
f
‴
(
x
)
|
x
=
a
=
(
f
″
(
x
)
|
x
=
a
)
′
{\displaystyle f'''(x)|_{x=a}=(f''(x)|_{x=a})'\,}
f
(
n
)
(
x
)
|
x
=
a
=
(
f
(
n
−
1
)
(
x
)
|
x
=
a
)
′
{\displaystyle f^{(n)}(x)|_{x=a}=(f^{(n-1)}(x)|_{x=a})'\,}
^ Weisstein, Eric W. "Overdot." From MathWorld --A Wolfram Web Resource. „Archived copy” . Arhivirano iz originala 2015-09-05. g. Pristupljeno 2016-02-05 .
^ Weisstein, Eric W. "Double Dot." From MathWorld --A Wolfram Web Resource. „Archived copy” . Arhivirano iz originala 2016-03-03. g. Pristupljeno 2016-02-05 .
Dušan Adnađević, Zoran Kadelburg: Matematička analiza 1, Studentski trg, Beograd, 1995.
Anton, Howard; Bivens, Irl; Davis, Stephen (2. 2. 2005), Calculus: Early Transcendentals Single and Multivariable (8th izd.), New York: Wiley, ISBN 978-0-471-47244-5 Apostol, Tom M. (jun 1967), Calculus, Vol. 1: One-Variable Calculus with an Introduction to Linear Algebra 1 (2nd izd.), Wiley, ISBN 978-0-471-00005-1 Apostol, Tom M. (jun 1969), Calculus, Vol. 2: Multi-Variable Calculus and Linear Algebra with Applications 1 (2nd izd.), Wiley, ISBN 978-0-471-00007-5 Courant, Richard; John, Fritz (22. 12. 1998), Introduction to Calculus and Analysis, Vol. 1 , Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-65058-4 Eves, Howard (2. 1. 1990), An Introduction to the History of Mathematics (6th izd.), Brooks Cole, ISBN 978-0-03-029558-4 Larson, Ron; Hostetler, Robert P.; Edwards, Bruce H. (28. 2. 2006), Calculus: Early Transcendental Functions (4th izd.), Houghton Mifflin Company, ISBN 978-0-618-60624-5 Spivak, Michael (septembar 1994), Calculus (3rd izd.), Publish or Perish, ISBN 978-0-914098-89-8 Stewart, James (24. 12. 2002), Calculus ISBN 978-0-534-39339-7 Thompson, Silvanus P. (8. 9. 1998), Calculus Made Easy ISBN 978-0-312-18548-0 Crowell, Benjamin (2017), Fundamentals of Calculus (Govt. of TN), TamilNadu Textbook Corporation (2006), Mathematics- vol.2 (PDF) , Arhivirano iz originala (PDF) 2016-01-15. g., Pristupljeno 2014-11-29 Garrett, Paul (2004), Notes on First-Year Calculus University of Minnesota Hussain, Faraz (2006), Understanding Calculus Keisler, H. Jerome (2000), Elementary Calculus: An Approach Using Infinitesimals Mauch, Sean (2004), Unabridged Version of Sean's Applied Math Book originala 2006-04-15. g. Sloughter, Dan (2000), Difference Equations to Differential Equations Strang, Gilbert (1991), Calculus originala 25. 02. 2010. g., Pristupljeno 16. 10. 2020 Stroyan , Keith D. (1997), A Brief Introduction to Infinitesimal Calculus Wikibooks, Calculus
![{\displaystyle e^{\Delta x}-1=h{\xrightarrow[{\Delta x\rightarrow 0}]{}}0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/acf9b01d9d3e6ba05d99147059c052a104458bcb)
![{\displaystyle {\frac {\sin x}{x}}{\xrightarrow[{x\rightarrow 0}]{}}1\Rightarrow }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90e56042b67a90a80f99fe4aefbe6b1d5befa952)
![{\displaystyle [sin(x^{2})]'=sin'(x^{2})*(x^{2})'=2xcos(x^{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63be9dbff6ee27a591c3e8168c9f26269e217ffd)
![{\displaystyle u'(x)\pm v'(x)=[u(x)\pm v(x)]'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cbd0fa917a667217806399abc1230da3b7bf8ea5)
![{\displaystyle [u(x)v(x)]'=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/faff524404c03e591f2d52a13cbaa03b9e5a7a4d)
![{\displaystyle [cu(x)]'=c'u(x)+cu'(x)=0*u(x)+cu'(x)=cu'(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df143d69151b93a5af9def08c7350cfb1a60f10b)
![{\displaystyle {\bigl [}{\frac {u(x)}{v(x)}}{\bigr ]}'={\frac {u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{[v(x)]^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95632b9a3b35d86bcd94ef3f80402d304a2c4f5c)
, 1 (2nd izd.), Wiley, ISBN 978-0-471-00005-1
