Jedinični krug

U matematici, jedinični krug je krug čiji je poluprečnik 1. Često se, naročito u geometriji, jediničnim krugom smatra krug sa poluprečnikom 1 čiji se centar nalazi u koordinatnom početku (0,0).

Ilustracija jediničnog kruga. t je merni ugao

Ako su (x, y) tačke na kružnici jediničnog kruga u prvom kvadrantu, onda su x i y katete pravouglog trougla (isečci na x i y osi) čija je hipotenuza (poluprečnik) 1. Prema Pitagorinoj teoremi x i y zadovoljavaju jednačinu

$x^{2}+y^{2}=1\,\!$

Pošto je x² = (−x)² za svako x, i pošto su odsečci svih tačaka na jediničnom krugu oko x i y osa i na jediničnom krugu, prethodna jednačina važi za sve tačke (x, y) na jediničnom krugu, ne samo za prvi kvadrant.

Trigonometrijske funkcije na jediničnom krugu

Trigonometrijske funkcije sinus i kosinus mogu biti definisane na jediničnom krugu na sledeći način. Ukoliko je (x, y) tačka na jediničnom krugu i ukoliko duž iz koordinatnog početka do tačke (x, y) čini ugao t sa pozitivnim delom x-ose (u smeru suprotnim od smera kazaljke na satu), tada važi:

$\cos(t)=x\,\!$

$\sin(t)=y\,\!$

Jednačina x² + y² = 1 daje poznatu relaciju

$\cos ^{2}(t)+\sin ^{2}(t)=1\,\!$

Jedinični krug takođe daje uvid da su sinus i kosinus periodične funkcije jednakostima:

$\cos t=\cos(2\pi k+t)\,\!$

$\sin t=\sin(2\pi k+t)\,\!$

za svaki ceo broj k.

Ove jednakosti polaze od činjenice da x i y koordinate tačke na krugu ostaju iste ukoliko ugao t napravi bilo koji broj obrtaja (1 obrtaj = 2π radijana).

Kada se radi sa pravouglim trouglovima, sinus i kosinus, kao i ostale trigonometrijske funkcije imaju smisla samo ako je ugao veći od 0 i manji od π/2. Koristeći jedinični krug, ove funkcije dobijaju smisao za bilo koju realnu vrednost ugla.