Теорија апроксимације

У математици, теорија апроксимације се бави начином на који се функције најбоље могу апроксимирати једноставнијим функцијама, и квантитативним карактерисањем грешака које су тиме уведене. Треба имати на уму да оно што се подразумева најбољим и једноставнијим зависи од апликације. Блиско сродна тема је апроксимација функција генерализованим Фуријеовим редом, тј. апроксимација заснована на сумацији низа термина базираних на ортогоналним полиномима.

Један од проблема од посебног интереса је апроксимација функције у рачунарској математичкој библиотеци, коришћењем операција које се могу извршити на рачунару или калкулатору (нпр. сабирање и множење), тако да је резултат што је могуће ближи стварној функцији. Ово се обично ради са полиномским или рационалним (однос полинома) апроксимацијама.

Циљ је да апроксимација буде што је могуће ближе стварној функцији, типично са тачношћу која је блиска оној која постоји у основној рачунарској аритметици са покретним зарезом. Ово се постиже коришћењем полинома високог степена и/или сужавањем домена над којим полином треба да апроксимира функцију. Сужавање домена често се може обавити употребом различитих формула за додавање или скалирање функција које се апроксимирају. Модерне математичке библиотеке често редукују домен на многе мале сегменте и користе полином ниског степена за сваки сегмент.

Грешка између оптималног полинома и log(x) (црвено) и Чебишевљеве апроксимације и log(x) (плаво) преко интервала [2, 4]. Вертикалне поделе су 10−5. Максимална грешка за оптимални полином је 6,07 x 10−5.

Грешка између оптималног полинома и exp(x) (црвено) и Чебишевљеве апроксимације и exp(x) (плаво) преко интервала [−1, 1]. Вертикалне поделе су 10−4. Максимална грешка за оптимални полином је 5,47 x 10−4.

Оптимални полиноми

Када се изабере домен (типично интервал) и степен полинома, сам полином се бира на такав начин да се минимизује грешка у најгорем случају. То јест, циљ је да се минимизује максимална вредност од $\mid P(x)-f(x)\mid$, где је P(x) апроксимациони полином, f(x) је стварна функција, и x варира у изабраном интервалу. За функције које се добро понашају, постоји полином N-тог степена који ће довести до криве грешке која осцилује између $+\varepsilon$ и $-\varepsilon$ укупно N + 2 пута, дајући најгору грешку од $\varepsilon$. Може се видети је да постоји полином N-тог степена који може да интерполира N + 1 тачака криве. Такав полином је увек оптималан. Могу се осмислити функције f(x) за које не постоји такав полином, али се оне у пракси ретко јављају.

На пример, графови приказани на десној страни показују грешку у апроксимацији log(x) и exp(x) за N = 4. Црвене криве, за оптимални полином, су ниво, тј. оне осцилирају између $+\varepsilon$ и $-\varepsilon$. Траба имати на уму да је у сваком случају број екстрема N + 2, тј. 6. Два екстрема су на крајњим тачкама интервала, на левим и десним ивицама графова.

Грешка P(x) − f(x) за ниво полинома (црвена линија) и за побољшани полином (плава линија)

Да би се доказало да је ово тачно, претпоставимо да је P полином степена N који има описано својство, то јест, даје функцију грешке која има N + 2 екстрема, наизменичних знакова и једнаких величина. Црвени граф на десној страни показује како ова функција грешке може изгледати за N = 4. Претпоставимо да је Q(x) (чија је функција грешке приказана плавом бојом на десном графикону) још један N-степени полином који је боља апроксимација за f него P. Конкретно, Q је ближе f од P за сваку вредност x_и где се екстрем P−f јавља, тако да је

$|Q(x_{i})-f(x_{i})|<|P(x_{i})-f(x_{i})|.$

Кад се јави максимум од P−f у x_i, онда је

$Q(x_{i})-f(x_{i})\leq |Q(x_{i})-f(x_{i})|<|P(x_{i})-f(x_{i})|=P(x_{i})-f(x_{i}),$

Кад се јави минимум од P−f у x_i, онда је

$f(x_{i})-Q(x_{i})\leq |Q(x_{i})-f(x_{i})|<|P(x_{i})-f(x_{i})|=f(x_{i})-P(x_{i}).$

Дакле, као што се може видети на графику, [P(x) − f(x)] − [Q(x) − f(x)] мора има наизменичан знаку за N + 2 вредности од x_и. Али [P(x) − f(x)] − [Q(x) − f(x)] се своди на P(x) − Q(x) који је полином степена N. Ова функција мења знак најмање N+1 пута, дакле, по теореми о средњој вредности, она има N+1 нула, што је немогуће за полином степена N.

Главни часописи

• Journal of Approximation Theory
• Constructive Approximation
• East Journal on Approximations

Види још

• Чебишевљеви полиноми
• Теорија процене
• Генерализоване Фуријеови редови
• Ортогонални полиноми
• Ортонормирана база
• Фуријеов ред
• Шаудерова база
• Падеова апроксимација
• Апроксимација функција

Литература

• А. Ф. Тиман, Тхеорy оф аппроxиматион оф фунцтионс оф а реал вариабле, 1963 ISBN 0-486-67830-X
• C. Хастингс, Јр. Аппроxиматионс фор Дигитал Цомпутерс. Принцетон Университy Пресс, 1955.
• Ј. Ф. Харт, Е. W. Цхенеy, C. L. Лаwсон, Х. Ј. Маехлy, C. К. Месзтенyи, Ј. Р. Рице, Х. C. Тхацхер Јр., C. Wитзгалл, Цомпутер Аппроxиматионс. Wилеy, 1968, Либ. Цонг. 67-23326.
• L. Фоx анд I. Б. Паркер. "Цхебyсхев Полyномиалс ин Нумерицал Аналyсис." Оxфорд Университy Пресс Лондон, 1968.
• Пресс, WХ; Теуколскy, СА; Веттерлинг, WТ; Фланнерy, БП (2007), „Сецтион 5.8. Цхебyсхев Аппроxиматион”, Нумерицал Реципес: Тхе Арт оф Сциентифиц Цомпутинг (3рд изд.), Неw Yорк: Цамбридге Университy Пресс, ИСБН 978-0-521-88068-8, Архивирано из оригинала 10. 04. 2020. г., Приступљено 28. 06. 2019 
• W. Ј. Цодy Јр., W. Wаите, Софтwаре Мануал фор тхе Елементарy Фунцтионс. Прентице-Халл, 1980, ISBN 0-13-822064-6.
• Е. Ремес [Ремез], "Сур ле цалцул еффецтиф дес полyномес д'аппроxиматион де Тсцхебyсцхефф". 1934 C. Р. Ацад. Сци., Парис, 199, 337-340.
• К.-Г. Стеффенс, "Тхе Хисторy оф Аппроxиматион Тхеорy: Фром Еулер то Бернстеин," Биркхаусер, Бостон 2006 ISBN 0-8176-4353-2.
• Т. Ердéлyи, „Еxтенсионс оф тхе Блоцх-Пóлyа тхеорем он тхе нумбер оф дистинцт реал зерос оф полyномиалс”. Јоурнал де тхéорие дес номбрес де Бордеауx. 20 (2008): 281—287. .
• Т. Ердéлyи. „Тхе Ремез инеqуалитy фор линеар цомбинатионс оф схифтед Гауссианс”. Матх. Проц. Цамб. Пхил. Соц. 146 (2009): 523—530. .
• L. Н. Трефетхен, "Аппроxиматион тхеорy анд аппроxиматион працтице", СИАМ 2013. [1]
• Тхеорy оф Поинт Естиматион бy Е.L. Лехманн анд Г. Цаселла. (ISBN 0387985026)
• Сyстемс Цост Енгинееринг бy Дале Схермон. (ISBN 978-0-566-08861-2)
• Матхематицал Статистицс анд Дата Аналyсис бy Јохн Рице. (ISBN 0-534-209343)
• Фундаменталс оф Статистицал Сигнал Процессинг: Естиматион Тхеорy бy Стевен M. Каy (ISBN 0-13-345711-7)
• Ан Интродуцтион то Сигнал Детецтион анд Естиматион бy Х. Винцент Поор (ISBN 0-387-94173-8)
• Детецтион, Естиматион, анд Модулатион Тхеорy, Парт 1 бy Харрy L. Ван Треес (ISBN 0-471-09517-6; website)
• Optimal State Estimation: Kalman, H-infinity, and Nonlinear Approaches by Dan Simon website Архивирано на сајту Wayback Machine (30. децембар 2010)
• Али Х. Саyед, Адаптиве Филтерс, Wилеy, Њ, 2008, ISBN 978-0-470-25388-5.
• Али Х. Саyед, Фундаменталс оф Адаптиве Филтеринг, Wилеy, Њ, 2003, ISBN 0-471-46126-1.
• Тхомас Каилатх, Али Х. Саyед, анд Бабак Хассиби, Линеар Естиматион, Прентице-Халл, Њ, 2000, ISBN 978-0-13-022464-4.
• Бабак Хассиби, Али Х. Саyед, анд Тхомас Каилатх, Индефините Qуадратиц Естиматион анд Цонтрол: А Унифиед Аппроацх то Х² анд Х^$\infty$ Тхеориес, Социетy фор Индустриал & Апплиед Матхематицс (СИАМ), ПА, 1999, ISBN 978-0-89871-411-1.
• V.Г.Воинов, M.С.Никулин, "Унбиасед естиматорс анд тхеир апплицатионс. Вол.1: Унивариате цасе", Клуwер Ацадемиц Публисхерс, 1993, ISBN 0-7923-2382-3.
• V.Г.Воинов, M.С.Никулин, "Унбиасед естиматорс анд тхеир апплицатионс. Вол.2: Мултивариате цасе", Клуwер Ацадемиц Публисхерс, 1996, ISBN 0-7923-3939-8.
• Katznelson, Yitzhak (1976). An introduction to Harmonic Analysis (2nd corrected изд.). New York, NY: Dover Publications, Inc. стр. 46. ISBN 0-486-63331-4. 
• Tolstov, Georgi P. (1976). Fourier Series. Courier-Dover. ISBN 0-486-63317-9. 
• Fasshauer, Greg (2015). „Fourier Series and Boundary Value Problems” (PDF). Math 461 Course Notes, Ch 3. Department of Applied Mathematics, Illinois Institute of Technology. Приступљено 6. 11. 2020. CS1 одржавање: Формат датума (веза)
• William E. Boyce; Richard C. DiPrima (2005). Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems (8th изд.). New Jersey: John Wiley & Sons, Inc. ISBN 0-471-43338-1. 
• Joseph Fourier, translated by Alexander Freeman (2003). The Analytical Theory of Heat. Dover Publications. ISBN 0-486-49531-0.  2003 unabridged republication of the 1878 English translation by Alexander Freeman of Fourier's work Théorie Analytique de la Chaleur, originally published in 1822.
• Enrique A. Gonzalez-Velasco (1992). „Connections in Mathematical Analysis: The Case of Fourier Series”. American Mathematical Monthly. 99 (5): 427—441. JSTOR 2325087. doi:10.2307/2325087. 
• Fetter, Alexander L.; Walecka, John Dirk (2003). Theoretical Mechanics of Particles and Continua. Courier. ISBN 978-0-486-43261-8. 
• Felix Klein, Development of mathematics in the 19th century. Mathsci Press Brookline, Mass, 1979. Translated by M. Ackerman from Vorlesungen über die Entwicklung der Mathematik im 19 Jahrhundert, Springer, Berlin, 1928.
• Walter Rudin (1976). Principles of mathematical analysis (3rd изд.). New York: McGraw-Hill, Inc. ISBN 0-07-054235-X. 
• A. Zygmund (2002). Trigonometric Series (third изд.). Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-89053-5. 
• Foncannon, J. J.; Foncannon, J. J.; Pekonen, Osmo (2008). „Review of Classical and quantum orthogonal polynomials in one variable by Mourad Ismail”. The Mathematical Intelligencer. Springer New York. 30: 54—60. ISSN 0343-6993. S2CID 118133026. doi:10.1007/BF02985757. 
• Ismail, Mourad E. H. (2005). Classical and Quantum Orthogonal Polynomials in One Variable. Cambridge: Cambridge Univ. Press. ISBN 0-521-78201-5. 
• Jackson, Dunham (2004) [1941]. Fourier Series and Orthogonal Polynomials. New York: Dover. ISBN 0-486-43808-2. 
• Hazewinkel Michiel, ур. (2001). „Orthogonal polynomials”. Encyclopaedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1556080104. 
• Сзегő, Гáбор (1939). Ортхогонал Полyномиалс. Цоллоqуиум Публицатионс. XXIII. Америцан Матхематицал Социетy. ИСБН 978-0-8218-1023-1. МР 0372517. 
• Тотик, Вилмос (2005). „Ортхогонал Полyномиалс”. Сурвеyс ин Аппроxиматион Тхеорy. 1: 70—125. арXив:матх.ЦА/0512424 . 
• C. Цхан, А. Миронов, А. Морозов, А. Слептсов, арXив:1712.03155.

Спољашње везе

• History of Approximation Theory (HAT) Архивирано на сајту Wayback Machine (18. септембар 2019)
• Surveys in Approximation Theory (SAT) Архивирано на сајту Wayback Machine (18. септембар 2019)