Алгебарска геометрија

Алгебарска геометрија је грана математике која комбинује технике апстрактне алгебре, посебно комутативне алгебре, са језиком и проблематиком геометрије. Она има важно место у данашњој математици и има бројне концептуалне везе са различитим пољима као што су комплексна анализа, топологија и теорија бројева. Алгебарска геометрија је грана математике која класично студира нуле мултиваријантних полинома. Савремена алгебарска геометрија заснива се на коришћењу апстрактних алгебарских техника, углавном из комутативне алгебре, за решавање геометријских проблема око ових скупова нула.

Фундаментални предмети проучавања алгебарске геометрије су алгебарски варијетети, који су геометријске манифестације решења система полиномских једначина. Примери најпроученијих класа алгебарских варијетета су: равне алгебарске криве, које укључују линије, кругове, параболе, елипсе, хиперболе, кубне криве попут елиптичких кривих, и криве четвртог степена попут лемниската и Касинијевих овала. Тачка равни припада алгебарској кривој ако њене координате задовољавају задату полиномску једначину. Основна питања укључују проучавање тачака од посебног интереса попут сингуларних тачака, тачака инфлекције и тачака у бесконачности. Напреднија питања укључују топологију криве и односе између кривих дате различитим једначинама.

Алгебарска геометрија заузима централно место у модерној математици и има вишеструке концептуалне везе са тако разноврсним пољима као што су комплексна анализа, топологија и теорија бројева. Првобитно проучавање система полиномних једначина са неколико променљивих, предмета алгебарске геометрије започиње тамо где решавање једначина престаје, и постаје још важније разумевање унутрашњих својстава целокупности решења система једначина, него проналажење специфичног решења; ово води у неке од најдубљих области у целој математици, концептуално и у погледу технике.

У 20. веку алгебарска геометрија је поделјена на неколико подподручја.

Главни ток алгебарске геометрије посвећен је проучавању комплексних тачака алгебарских варијетета и генералније тачака са координатама у алгебарски затвореном пољу.
Реална алгебарска геометрија је проучавање стварних тачака алгебарске разноликости.
Диофантинска геометрија и генералније аритметичка геометрија је проучавање тачака алгебарске разноликости са координатама у пољима која нису алгебрски затворена и јављају се у теорији алгебрарских бројева, као што су поље рационалних бројева, поља бројева, коначна поља, функција поља и п-адична поља.
Велики део теорије сингуларности посвећен је сингуларностима алгебарских варијетета.
Рачунарска алгебарска геометрија је област која се појавила на пресеку алгебарске геометрије и рачунарске алгебре, са успоном рачунара. Она се састоји углавном од дизајна алгоритама и развоја софтвера за проучавање својстава експлицитно датих алгебарских варијетета.

Велики део развоја алгебарске геометрије у 20. веку одвијао се у апстрактном алгебарском оквиру, при чему је све већи нагласак стављен на „унутрашња” својства алгебарских варијетета која не зависе од одређеног начина уграђивања варијетета у амбијентни координатни простор; ово паралелно прати развој топологије, диференцијалне и комплексне геометрије. Једно кључно достигнуће ове апстрактне алгебарске геометрије је Гротендикова теорија шема која омогућава употребу теорије снопова за проучавање алгебрских варијетета на начин који је врло сличан по својој употреби проучавању диференцијалних и аналитичких многострукости. То се добија проширивањем појма тачке: У класичној алгебарској геометрији може се идентификовати тачка афиног варијетета, кроз Хилбертову теорему нула, са максималним идеалом координатног прстена, док су тачке кореспондирајуће афине шеме сви главни идеали тог прстена. То значи да тачка такве шеме може бити било уобичајена тачка или подваријанта. Овај приступ такође омогућава обједињавање језика и алата класичне алгебарске геометрије, који се углавном тичу комплексних тачака, и теорије алгебарских бројева. Доказ Вилеса о дугогодишњој претпоставци званој Ферматова последња теорема пример је моћи овог приступа.

Апликације

Алгебарска геометрија сада проналази примену у статистици,^[1] теорији управљања,^[2]^[3] роботици,^[4] коду за кориговање грешака,^[5] филогенетици^[6] и геометријском моделовању.^[7] Такође постоје везе са теоријом стрингова,^[8] теоријом игара,^[9] подударања графова,^[10] солитонима^[11] и целобројним програмирањем.^[12]

Референце

^ Дртон, Матхиас; Стурмфелс, Бернд; Сулливант, Сетх (2009). Лецтурес он Алгебраиц Статистицс. Спрингер. ИСБН 978-3-7643-8904-8.
^ Фалб, Петер (1990). Метходс оф Алгебраиц Геометрy ин Цонтрол Тхеорy Парт II Мултивариабле Линеар Сyстемс анд Пројецтиве Алгебраиц Геометрy. Спрингер. ИСБН 978-0-8176-4113-9.
^ Аллен Танненбаум (1982), Инварианце анд Сyстемс Тхеорy: Алгебраиц анд Геометриц Аспецтс, Лецтуре Нотес ин Матхематицс, волуме 845, Спрингер-Верлаг. ISBN 9783540105657.
^ Selig, J.M. (2005). Geometric Fundamentals of Robotics. Springer. ISBN 978-0-387-20874-9.
^ Tsfasman, Michael A.; Vlăduț, Serge G.; Nogin, Dmitry (1990). Algebraic Geometric Codes Basic Notions. American Mathematical Soc. ISBN 978-0-8218-7520-9.
^ Barry Arthur Cipra (2007), Algebraic Geometers See Ideal Approach to Biology Архивирано 2016-03-03 на сајту Wayback Machine, СИАМ Неwс, Волуме 40, Нумбер 6
^ Јüттлер, Берт; Пиене, Рагни (2007). Геометриц Моделинг анд Алгебраиц Геометрy. Спрингер. ИСБН 978-3-540-72185-7.
^ Цоx, Давид А.; Катз, Схелдон (1999). Миррор Сyмметрy анд Алгебраиц Геометрy. Америцан Матхематицал Соц. ИСБН 978-0-8218-2127-5.
^ Блуме, L. Е.; Заме, W. Р. (1994). „Тхе алгебраиц геометрy оф перфецт анд сеqуентиал еqуилибриум” (ПДФ). Ецонометрица. 62 (4): 783—794. ЈСТОР 2951732. Архивирано из оригинала (ПДФ) 05. 12. 2020. г. Приступљено 19. 11. 2019.
^ Кенyон, Рицхард; Окоунков, Андреи; Схеффиелд, Сцотт (2003). „Димерс анд Амоебае”. арXив:матх-пх/0311005  .
^ Фордy, Аллан П. (1990). Солитон Тхеорy А Сурвеy оф Ресултс. Манцхестер Университy Пресс. ИСБН 978-0-7190-1491-8.
^ Цоx, Давид А.; Стурмфелс, Бернд. Маноцха, Динесх Н., ур. Апплицатионс оф Цомпутатионал Алгебраиц Геометрy. Америцан Матхематицал Соц. ИСБН 978-0-8218-6758-7.

Литература

ван дер Wаерден, Б. L. (1945). Еинфуехрунг ин дие алгебраисцхе Геометрие. Довер.
Ходге, W. V. D.; Педое, Даниел (1994). Метходс оф Алгебраиц Геометрy Волуме 1. Цамбридге Университy Пресс. ИСБН 978-0-521-46900-5. Збл 0796.14001.
Ходге, W. V. D.; Педое, Даниел (1994). Метходс оф Алгебраиц Геометрy Волуме 2. Цамбридге Университy Пресс. ИСБН 978-0-521-46901-2. Збл 0796.14002.
Ходге, W. V. D.; Педое, Даниел (1994). Метходс оф Алгебраиц Геометрy Волуме 3. Цамбридге Университy Пресс. ИСБН 978-0-521-46775-9. Збл 0796.14003.
Гарритy, Тхомас; et al. (2013). Алгебраиц Геометрy А Проблем Солвинг Аппроацх. Америцан Матхематицал Социетy. ИСБН 978-0-821-89396-8.
Гриффитхс, Пхиллип; Харрис, Јое (1994). Принциплес оф Алгебраиц Геометрy. Wилеy-Интерсциенце. ИСБН 978-0-471-05059-9. Збл 0836.14001.
Харрис, Јое (1995). Алгебраиц Геометрy А Фирст Цоурсе. Спрингер-Верлаг. ИСБН 978-0-387-97716-4. Збл 0779.14001.
Мумфорд, Давид (1995). Алгебраиц Геометрy I Цомплеx Пројецтиве Вариетиес (2нд изд.). Спрингер-Верлаг. ИСБН 978-3-540-58657-9. Збл 0821.14001.
Реид, Милес (1988). Ундерградуате Алгебраиц Геометрy . Цамбридге Университy Пресс. ИСБН 978-0-521-35662-6. Збл 0701.14001.
Схафаревицх, Игор (1995). Басиц Алгебраиц Геометрy I Вариетиес ин Пројецтиве Спаце (2нд изд.). Спрингер-Верлаг. ИСБН 978-0-387-54812-8. Збл 0797.14001.
Цоx, Давид А.; Литтле, Јохн; О'Схеа, Донал (1997). Идеалс, Вариетиес, анд Алгоритхмс (2нд изд.). Спрингер-Верлаг. ИСБН 978-0-387-94680-1. Збл 0861.13012.
Басу, Саугата; Поллацк, Рицхард; Роy, Марие-Франçоисе (2006). Алгоритхмс ин реал алгебраиц геометрy. Спрингер-Верлаг.
Гонзáлез-Вега, Лауреано; Рецио, Тóмас (1996). Алгоритхмс ин алгебраиц геометрy анд апплицатионс. Биркхаüсер.
Елкади, Мохамед; Моурраин, Бернард; Пиене, Рагни, ур. (2006). Алгебраиц геометрy анд геометриц моделинг. Спрингер-Верлаг.
Дицкенстеин, Алициа; Сцхреyер, Франк-Олаф; Соммесе, Андреw Ј., ур. (2008). Алгоритхмс ин Алгебраиц Геометрy. Тхе ИМА Волумес ин Матхематицс анд итс Апплицатионс. 146. Спрингер. ИСБН 9780387751559. ЛЦЦН 2007938208.
Цоx, Давид А.; Литтле, Јохн Б.; О'Схеа, Донал (1998). Усинг алгебраиц геометрy. Спрингер-Верлаг.
Цавинесс, Боб Ф.; Јохнсон, Јеремy Р. (1998). Qуантифиер елиминатион анд цyлиндрицал алгебраиц децомпоситион. Спрингер-Верлаг.
Еисенбуд, Давид; Харрис, Јое (1998). Тхе Геометрy оф Сцхемес. Спрингер-Верлаг. ИСБН 978-0-387-98637-1. Збл 0960.14002.
Гротхендиецк, Алеxандер (1960). Éлéментс де гéомéтрие алгéбриqуе. Публицатионс Матхéматиqуес де л'ИХÉС. Збл 0118.36206.
Гротхендиецк, Алеxандер; Диеудоннé, Јеан Алеxандре (1971). Éлéментс де гéомéтрие алгéбриqуе. 1 (2нд изд.). Спрингер-Верлаг. ИСБН 978-3-540-05113-8. Збл 0203.23301.
Хартсхорне, Робин (1977). Алгебраиц Геометрy. Спрингер-Верлаг. ИСБН 978-0-387-90244-9. Збл 0367.14001.
Мумфорд, Давид (1999). Тхе Ред Боок оф Вариетиес анд Сцхемес Инцлудес тхе Мицхиган Лецтурес он Цурвес анд Тхеир Јацобианс (2нд изд.). Спрингер-Верлаг. ИСБН 978-3-540-63293-1. Збл 0945.14001.
Схафаревицх, Игор (1995). Басиц Алгебраиц Геометрy II Сцхемес анд цомплеx манифолдс (2нд изд.). Спрингер-Верлаг. ИСБН 978-3-540-57554-2. Збл 0797.14002.

Спољашње везе

Foundations of Algebraic Geometry by Ravi Vakil, 808 pp.
Algebraic geometry entry on PlanetMath
English translation of the van der Waerden textbook
Диеудоннé, Јеан (3. 3. 1972). „Тхе Хисторy оф Алгебраиц Геометрy”. Талк ат тхе Департмент оф Матхематицс оф тхе Университy оф Wисцонсин–Милwаукее — преко YоуТубе.
The Stacks Project, an open source textbook and reference work on algebraic stacks and algebraic geometry

[1] Дртон, Матхиас; Стурмфелс, Бернд; Сулливант, Сетх (2009). Лецтурес он Алгебраиц Статистицс. Спрингер. ИСБН 978-3-7643-8904-8.

[2] Фалб, Петер (1990). Метходс оф Алгебраиц Геометрy ин Цонтрол Тхеорy Парт II Мултивариабле Линеар Сyстемс анд Пројецтиве Алгебраиц Геометрy. Спрингер. ИСБН 978-0-8176-4113-9.

[3] Аллен Танненбаум (1982), Инварианце анд Сyстемс Тхеорy: Алгебраиц анд Геометриц Аспецтс, Лецтуре Нотес ин Матхематицс, волуме 845, Спрингер-Верлаг. ISBN 9783540105657.

[4] Selig, J.M. (2005). Geometric Fundamentals of Robotics. Springer. ISBN 978-0-387-20874-9.

[5] Tsfasman, Michael A.; Vlăduț, Serge G.; Nogin, Dmitry (1990). Algebraic Geometric Codes Basic Notions. American Mathematical Soc. ISBN 978-0-8218-7520-9.

[6] Barry Arthur Cipra (2007), Algebraic Geometers See Ideal Approach to Biology Архивирано 2016-03-03 на сајту Wayback Machine, СИАМ Неwс, Волуме 40, Нумбер 6

[7] Јüттлер, Берт; Пиене, Рагни (2007). Геометриц Моделинг анд Алгебраиц Геометрy. Спрингер. ИСБН 978-3-540-72185-7.

[8] Цоx, Давид А.; Катз, Схелдон (1999). Миррор Сyмметрy анд Алгебраиц Геометрy. Америцан Матхематицал Соц. ИСБН 978-0-8218-2127-5.

[9] Блуме, L. Е.; Заме, W. Р. (1994). „Тхе алгебраиц геометрy оф перфецт анд сеqуентиал еqуилибриум” (ПДФ). Ецонометрица. 62 (4): 783—794. ЈСТОР 2951732. Архивирано из оригинала (ПДФ) 05. 12. 2020. г. Приступљено 19. 11. 2019.

[10] Кенyон, Рицхард; Окоунков, Андреи; Схеффиелд, Сцотт (2003). „Димерс анд Амоебае”. арXив:матх-пх/0311005  .

[11] Фордy, Аллан П. (1990). Солитон Тхеорy А Сурвеy оф Ресултс. Манцхестер Университy Пресс. ИСБН 978-0-7190-1491-8.

[12] Цоx, Давид А.; Стурмфелс, Бернд. Маноцха, Динесх Н., ур. Апплицатионс оф Цомпутатионал Алгебраиц Геометрy. Америцан Матхематицал Соц. ИСБН 978-0-8218-6758-7.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]