Ортонормирана база

Ортонормирана база је база e неког векторског простора V чији су вектори (e₁, e₂, ..., e_n) међусобно нормални и јединични.

${\begin{matrix}e=(e_{1},e_{2},\dots ,e_{n}),&|e_{i}|=1,e_{j}e_{k}=0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\\&i,j,k=1,\dots ,n,\;j\neq k\\\end{matrix}}$

Пример ортонормиране базе је тзв. канонска база.

Ортонормирање базе

Свака база v = (v₁, v₂, ..., v_n) неког векторског простора V се може ортогонормирати на базу e = (e₁, e₂, ..., e_n). Поступак се дели на два дела:

• Ортогонализација вектора базе v тј. формирање нове базе w чији су вектори добијени линеарним комбиновањем вектора из v али су и међусобно нормални.
• Нормирање вектора из w што даје веткоре ортонормиране базе e.

Ортогонализација

Прво се узме произвољан вектор из v, рецимо v₁. Први вектор из w му може бити једнак, јер нема других вектора на које треба да буде нормалан:

$w_{1}=v_{1}$

У следећем кораку се узима један од још неупотребљених вектора из v, рецимо v₂:

$w_{2}=v_{2}-{\frac {v_{2}w_{1}}{w_{1}w_{1}}}w_{1}$

Следећи вектор узима у обзир још један неупотребљен вектор из v, али треба бити и нормалан на претходна два:

$w_{3}=v_{3}-{\frac {v_{3}w_{1}}{w_{1}w_{1}}}w_{1}-{\frac {v_{3}w_{2}}{w_{2}w_{2}}}w_{2}$

Поступак се понавља док се не употребе сви вектори из v.

$w_{i}=v_{i}-\sum _{j=1}^{i-1}{{\frac {v_{j}w_{j}}{w_{j}w_{j}}}w_{j}}$

Нормирање

Сви вектори из w се деле са својим интензитетима. Тако се добијају вектори ортонормиране базе e:

$e_{i}={\frac {w_{i}}{|w_{i}|}},\;i=1,\dots ,n$