Moduli elastičnosti

Moduli elastičnosti (takođe poznat kao elastični moduli) su kvantitativna mera otpornosti jednog objekta ili supstance na elastične deformacije (i.e., one koje nisu permanentne) kada su izložene stresu. Modul elastičnosti jednog objekta je definisan kao nagib njegovog dijagrama naprezanja u regionu elastičnih deformacija: Krući materijal imaće viši modul elastičnosti. Modul elastičnosti ima oblik:

$\lambda \ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ {\frac {\text{stres}}{\text{naprezanje}}}$

gde je stres sila koja uzrokuje deformaciju podeljena površinom na kojoj sila deluje, а naprezanje je odnos promene u nekom parametru uzrokovan deformacijom relativno an originalnu vrednost tog parametra. Ako se stres meri u paskalima, kako je naprezanje bezdimenzionalna veličina, jedinice za λ će takođe biti paskal.

Navođenje načina merenja stresa i naprezanja, uključujući pravce, omogućava da se definišu mnogi tipovi elastičnih modula. Tri osnovna su:

• Jangov modul (E) opisuje zateznu elastičnost, ili tendenciju objekta da se deformiše duž ose kada su suprotne sile primenjene duž te ose; on se definiše kao odnos zateznog stresa prema zateznoj deformaciji. Često se naziva samo modulom elastičnosti.
• Modul smicanja ili modul krutosti (G ili $\mu \,$) opisuje tendenciju smicanja datog objekta (deformacija oblika pri konstantnoj zapremini) kada na njiga deluju suprotne sile; on je definisan kao smicajni stres po deformaciji smicanja. Modul smicanja je deo derivacije viskoznosti.
• Modul stišljivosti (K) opisuje volumetrijsku elastičnost, ili tendenciju objekta da se deformiše u svim pravcima kada se ravnomerno opterećuje u svim pravcima; on se definiše kao volumetrijski stres po volumetrijskoj deformaciji i predstavlja inverznu kompresibilnost. Modul stišljivosti je proširenje Jangovog modula na tri dimenzije.

Tri druga modula su Puasonov odnos, Lameov parametar, i modul P-talasa.

Homogeni i izotropni (slični u svim pravcima) materijali (čvrste materije) imaju svoja (linearna) elastična svojstva u potpunosti opisana sa dva modula elastičnosti, i može se izabrati bilo koji par. Polazeći od para modula elastičnosti, svi ostali moduli elastičnosti mogu se izračunati prema predefinisam formulama. Neviskozni fluidi su posebni po tome što ne pružaju otpor na napon smicanja, što znači da je modul smicanja uvek nula. Iz toga takođe sledi da su Jangovi moduli za ovu grupu uvek jednaki nuli. U nekim engleskim tekstovima ovde opisana količina naziva se elastična konstanta, dok se inverzna količina naziva modulom elastičnosti.

Jangov modul elastičnosti

Jangov modul elastičnosti predstavlja mjeru krutosti materijala i jednak je odnosu vučnog naprezanja i linijske vučne deformacije, u linearnom ili elastičnom dijelu dijagrama naprezanja. Krutost materijala je važna veličina pri određivanju stabilnosti i sigurnosti neke konstrukcije. Jangov modul elastičnosti vredi i za kompresiona naprezanja kod većine materijala:

$E\equiv {\frac {\mbox{zatezno naprezanje}}{\mbox{produzenje}}}={\frac {\sigma }{\varepsilon }}={\frac {F/A_{0}}{\Delta L/L_{0}}}={\frac {FL_{0}}{A_{0}\Delta L}}$

gde je:

E — Jangov modul elastičnosti (N/mm²);

F — sila koja produžava šipku ili štap (N);

A₀ — početni poprečni presek šipke ili štapa u mirovanju (mm²);

ΔL — produženje šipke ili štapa (m);

L₀ — početna dužina šipke ili štapa (m);

σ — naprezanje u šipki ili štapu (N/mm²),

ε — odnos produženja šipke ili štapa i njene dužine (bez dimenzije ili ΔL/Lo).

Jangov modul elastičnosti je nazvan prema britanskom naučniku Tomasu Jangu, iako je sam pojam razvio matematičar Leonard Ojler, a prvi je eksperimente izveo Italijan Đordano Rikati 1782, 25 godina pre Tomasa Janga.

Modul smicanja

Shear strain

Modul smicanja se definiše kao smicajni stres po deformaciji smicanja:

$G\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {\tau _{xy}}{\gamma _{xy}}}={\frac {F/A}{\Delta x/l}}={\frac {Fl}{A\Delta x}}$

gde je

$\tau _{xy}=F/A\,$ — smicajni stres

$F$ — sila koja deluje na objekat

$A$ — površina na koju sila deluje

$\gamma _{xy}$ — deformacija smicanja. U inženjerstvu $:=\Delta x/l=\tan \theta$, drugde $:=\theta$

$\Delta x$ — poprečni pomak

$l$ — inicijalna dužina

Modul stišljivosti

Modul stišljivosti ($K$ ili $B$) supstancije je mera koliko je ta supstancija otporna na kompresiju. Definiše se kao odnos infinitezimalnog povećanja pritiska i rezultujućeg relativnog smanjenja zapremine. Drugi moduli opisuju odgovor materijala (v. deformacije) na razne vrste naprezanja: modul smicanja opisuje rezultate smicanja, a Jangov modul rezultate linearnog naprezanja. Za tečnosti, samo modul stišljivosti ima smisla. Za kompleksne anisotropične čvrste materije kao što je drvo ili papir, ova tri modula ne sadrže dovoljno informacija da se opiše njihovo ponašanje, pa mora da se koristi potpuno generalizovani Hukov zakon.

Vidi još

• Dinamički moduo
• Elastični limit
• Elastični talas
• Hukov zakon
• Krutost
• Zatezna čvrstoća

Literatura

• Hartsuijker, C.; Welleman, J. W. (2001). Engineering Mechanics. Volume 2. Springer. ISBN 978-1-4020-4123-5. 
• De Jong, Maarten; Chen, Wei (2015). „Charting the complete elastic properties of inorganic crystalline compounds”. Scientific Data. 2: 150009. Bibcode:2013NatSD...2E0009D. PMC 4432655 . doi:10.1038/sdata.2015.9. 
• Chakrabarty, J. (2006). Theory of plasticity (3. izd.). Butterworth-Heinemann. str. 17—32. ISBN 0-7506-6638-2. 
• Beer, Ferdinand Pierre; Elwood Russell Johnston; John T. DeWolf (1992). Mechanics of Materials. McGraw-Hill Professional. ISBN 0-07-112939-1. 
• Brady, B.H.G.; E.T. Brown (1993). Rock Mechanics For Underground Mining (3. izd.). Kluwer Academic Publisher. str. 17—29. ISBN 0-412-47550-2. 
• Chen, Wai-Fah; Baladi, G.Y. (1985). Soil Plasticity, Theory and Implementation. ISBN 0-444-42455-5. 
• Chou, Pei Chi; Pagano, N.J. (1992). Elasticity: tensor, dyadic, and engineering approaches. Dover books on engineering. Dover Publications. str. 1—33. ISBN 0-486-66958-0. 
• Davis, R. O.; Selvadurai. A. P. S. (1996). Elasticity and geomechanics. Cambridge University Press. str. 16—26. ISBN 0-521-49827-9. 
• Dieter, G. E. (3 ed.). (1989). Mechanical Metallurgy. New York: McGraw-Hill. ISBN 0-07-100406-8.
• Holtz, Robert D.; Kovacs, William D. (1981). An introduction to geotechnical engineering. Prentice-Hall civil engineering and engineering mechanics series. Prentice-Hall. ISBN 0-13-484394-0. 
• Jones, Robert Millard (2008). Deformation Theory of Plasticity. Bull Ridge Corporation. str. 95—112. ISBN 0-9787223-1-0. 
• Jumikis, Alfreds R. (1969). Theoretical soil mechanics: with practical applications to soil mechanics and foundation engineering. Van Nostrand Reinhold Co. ISBN 0-442-04199-3. 
• Landau, L.D. and E.M.Lifshitz. (1959). Theory of Elasticity.
• Love, A. E. H. (4. izd.). (1944). Treatise on the Mathematical Theory of Elasticity. New York: Dover Publications. ISBN 0-486-60174-9.
• Marsden, J. E.; Hughes, T. J. R. (1994). Mathematical Foundations of Elasticity. Dover Publications. str. 132—142. ISBN 0-486-67865-2. 
• Parry, Richard Hawley Grey (2004). Mohr circles, stress paths and geotechnics (2. izd.). Taylor & Francis. str. 1—30. ISBN 0-415-27297-1. 
• Rees, David (2006). Basic Engineering Plasticity – An Introduction with Engineering and Manufacturing Applications. Butterworth-Heinemann. str. 1—32. ISBN 0-7506-8025-3. 
• Timoshenko, Stephen P.; James Norman Goodier (1970). Theory of Elasticity (3. izd.). McGraw-Hill International Editions. ISBN 0-07-085805-5. 
• Timoshenko, Stephen P. (1983). History of strength of materials: with a brief account of the history of theory of elasticity and theory of structures. Dover Books on Physics. Dover Publications. ISBN 0-486-61187-6. 
• Gallas, Marcia R.; Piermarini, Gasper J. (1994). „Bulk Modulus and Young's Modulus of Nanocrystalline γ-Alumina”. Journal of the American Ceramic Society (на језику: енглески). 77 (11): 2917—2920. ISSN 1551-2916. doi:10.1111/j.1151-2916.1994.tb04524.x. 
• „Graphite Properties Page by John A. Jaszczak”. pages.mtu.edu. Приступљено 2021-07-16. 
• H., Courtney, Thomas (2013). Mechanical Behavior of Materials (2nd ed. Reimp изд.). New Delhi: McGraw Hill Education (India). ISBN 978-1259027512. OCLC 929663641. 

Spoljašnje veze

• Matweb: free database of engineering properties for over 115,000 materials
• Young's Modulus for groups of materials, and their cost