Чебишевљева неједнакост сума носи назив према руском математичару Пафнути Чебишеву . Ако имамо два опадајућа низа:
Пафнути Лавович Чебишев
a
1
≥
a
2
≥
⋯
≥
a
n
{\displaystyle a_{1}\geq a_{2}\geq \cdots \geq a_{n}}
и
b
1
≥
b
2
≥
⋯
≥
b
n
,
{\displaystyle b_{1}\geq b_{2}\geq \cdots \geq b_{n},}
онда вреди Чебишевљева неједнакост
1
n
∑
k
=
1
n
a
k
b
k
≥
(
1
n
∑
k
=
1
n
a
k
)
(
1
n
∑
k
=
1
n
b
k
)
.
{\displaystyle {1 \over n}\sum _{k=1}^{n}a_{k}b_{k}\geq \left({1 \over n}\sum _{k=1}^{n}a_{k}\right)\left({1 \over n}\sum _{k=1}^{n}b_{k}\right).}
Исто тако ако је један низ растући, а други опадајући:
a
1
≤
a
2
≤
⋯
≤
a
n
{\displaystyle a_{1}\leq a_{2}\leq \cdots \leq a_{n}}
и
b
1
≥
b
2
≥
⋯
≥
b
n
,
{\displaystyle b_{1}\geq b_{2}\geq \cdots \geq b_{n},}
онда вреди
1
n
∑
k
=
1
n
a
k
b
k
≤
(
1
n
∑
k
=
1
n
a
k
)
(
1
n
∑
k
=
1
n
b
k
)
.
{\displaystyle {1 \over n}\sum _{k=1}^{n}a_{k}b_{k}\leq \left({1 \over n}\sum _{k=1}^{n}a_{k}\right)\left({1 \over n}\sum _{k=1}^{n}b_{k}\right).}
Пођимо од суме
S
=
∑
j
=
1
n
∑
k
=
1
n
(
a
j
−
a
k
)
(
b
j
−
b
k
)
.
{\displaystyle S=\sum _{j=1}^{n}\sum _{k=1}^{n}(a_{j}-a_{k})(b_{j}-b_{k}).}
Ако су два низа опадајућа (односно нису растућа) онда a j a k b j b k j , k S ≥ 0S ≥ 0
0
≤
n
∑
j
=
1
n
a
j
b
j
+
n
∑
k
=
1
n
a
k
b
k
−
∑
j
=
1
n
a
j
∑
k
=
1
n
b
k
−
∑
k
=
1
n
a
k
∑
j
=
1
n
b
j
,
{\displaystyle 0\leq n\sum _{j=1}^{n}a_{j}b_{j}+n\sum _{k=1}^{n}a_{k}b_{k}-\sum _{j=1}^{n}a_{j}\,\sum _{k=1}^{n}b_{k}-\sum _{k=1}^{n}a_{k}\,\sum _{j=1}^{n}b_{j},}
Сабирајући исте чланове добијамо:
0
≤
2
n
∑
j
=
1
n
a
j
b
j
−
2
∑
j
=
1
n
a
j
∑
k
=
1
n
b
k
.
{\displaystyle 0\leq 2n\sum _{j=1}^{n}a_{j}b_{j}-2\sum _{j=1}^{n}a_{j}\,\sum _{k=1}^{n}b_{k}.}
Коначно следи:
1
n
∑
j
=
1
n
a
j
b
j
≥
1
n
∑
j
=
1
n
a
j
1
n
∑
j
=
a
n
b
k
.
{\displaystyle {\frac {1}{n}}\sum _{j=1}^{n}a_{j}b_{j}\geq {\frac {1}{n}}\sum _{j=1}^{n}a_{j}\,{\frac {1}{n}}\sum _{j=a}^{n}b_{k}.}
уреди
Постоји генерализирана верзија Чебишевљеве неједнакости у случају континуиранога низа у виду функције. Ако су f и g реалне интеграбилне функције на интервалу [0, 1] и ако су обе растуће или обе падајуће онда следи:
∫
0
1
f
(
x
)
g
(
x
)
d
x
⩾
∫
0
1
f
(
x
)
d
x
∫
0
1
g
(
x
)
d
x
.
{\displaystyle \int \limits _{0}^{1}f(x)g(x)\,dx\geqslant \int \limits _{0}^{1}f(x)\,dx\int \limits _{0}^{1}g(x)\,dx.\,}
Hardy, G. H.; Littlewood, J. E.; Pólya, G. (1988). Inequalities. Cambridge Mathematical Library. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-35880-9 
