Хомотопија

У топологији, две непрекидне функције које пресликавају један тополошки простор у други се називају хомотопним (грчки хомос = исти и топос = место) ако једна од њих може бити непрекидно деформисана у другу- Таква деформација се назива хомотопија.^[1]^[2] Појам хомотопије је основа за дефинисање група хомотопије и група кохомотопије, инваријанти у алгебарској топологији.^[3]^[4]

Две испрекидане путање приказане изнад су хомотопне у односу на њихове крајње тачке. Анимација представља једну могућу хомотопију.

Формална дефиниција

Хомотопија шоље за чај у крофну (торус).

Формално, две непрекидне функције f и g које сликају тополошки простор X у тополошки простор Y су хомотопне уколико постоји непрекидна функција H : X × [0,1] → Y тако да је за све тачке x из X, важи H(x,0)=f(x) и H(x,1)=g(x).^[5]

Ако посматрамо други параметар H као време, онда H описује непрекидну трансформацију функције f у g: у тренутку 0 имамо функцију f, а у тренутку 1 имамо функцију g.^[6]

Својства

Хомотопија је релација еквиваленције на скупу свих непрекидних функција из X у Y. Ова релација је у складу са композицијом функција : ако су f₁, g₁ : X → Y хомотопне, и f₂, g₂ : Y → Z, онда су и f₂ o f₁ и g₂ o g₁ : X → Z такође хомотопне.

Примери

Ако је $f,g:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{2}$ дато са $f(x):=\left(x,x^{3}\right)$ и $g(x)=\left(x,e^{x}\right)$ , онда је мапа $H:\mathbb {R} \times [0,1]\to \mathbb {R} ^{2}$ дата са $H(x,t)=\left(x,(1-t)x^{3}+te^{x}\right)$ хомотопија између њих.
Уопштеније, ако је $C\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ конвексан подскуп Еуклидовог простора и $f,g:[0,1]\to C$ су путање са истим крајњим тачкама, онда постоји линеарна хомотопија^[7] (или праволинијска хомотопија) дата са
${\begin{aligned}H:[0,1]\times [0,1]&\longrightarrow C\\(s,t)&\longmapsto (1-t)f(s)+tg(s).\end{aligned}}$
Нека је $\operatorname {id} _{B^{n}}:B^{n}\to B^{n}$ функција идентитета на јединичном n-диску; тј. скуп $B^{n}:=\left\{x\in \mathbb {R} ^{n}:\|x\|\leq 1\right\}$ . Нека је $c_{\vec {0}}:B^{n}\to B^{n}$ константна функција $c_{\vec {0}}(x):={\vec {0}}$ која шаље сваку тачку у почетак. Онда је следећа хомотопија између њих:
${\begin{aligned}H:B^{n}\times [0,1]&\longrightarrow B^{n}\\(x,t)&\longmapsto (1-t)x.\end{aligned}}$

Хомотопска еквиваленција

За дата два тополошка простора X и Y, хомотопска еквиваленција између X и Y је пар непрекидних мапа f : X → Y и g : Y → X, тако да је g ∘ f хомотопна мапи идентитета id_X и f ∘ g је хомотопна према id_Y. Ако такав пар постоји, онда се за X и Y каже да су хомотопски еквивалентни, или истог типа хомотопије. Интуитивно, два простора X и Y су хомотопски еквивалентни ако се могу трансформисати један у други операцијама савијања, скупљања и ширења. Простори који су хомотопијски еквивалентни тачки називају се контрактивним.

Хомотопска еквиваленција наспрам хомеоморфизма

Хомеоморфизам је посебан случај хомотопске еквиваленције, у којем је g ∘ f једнако мапи идентитета id_X (не само хомотопно њој), а f ∘ g је једнако id_Y.^[8]^‍:0:53:00 Дакле, ако су X и Y хомеоморфни онда су хомотопски еквивалентни, али супротно није тачно. Неки примери:

Чврсти диск је хомотопски еквивалентан једној тачки, пошто се диск може деформисати дуж радијалних линија непрекидно до једне тачке. Међутим, оне нису хомеоморфне, пошто између њих не постоји бијекција (пошто је једно бесконачан скуп, док је друго коначан).
Мебијусова трака и неуплетена (затворена) трака су хомотопски еквивалентни, пошто се обе траке могу континуално деформисати у круг. Међутим оне нису хомеоморфне.

Примери

Први пример хомотопијске еквиваленције је $\mathbb {R} ^{n}$ са тачком, означеном $\mathbb {R} ^{n}\simeq \{0\}$ . Део који треба проверити је постојање хомотопије $H:I\times \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$ између $\operatorname {id} _{\mathbb {R} ^{n}}$ and $p_{0}$ , пројекције $\mathbb {R} ^{n}$ на исходиште. Ово се може описати као $H(t,\cdot )=t\cdot p_{0}+(1-t)\cdot \operatorname {id} _{\mathbb {R} ^{n}}$ .
Постоји хомотопска еквиваленција између $S^{1}$ (1-сфера) и $\mathbb {R} ^{2}-\{0\}$ .
- Уопштеније, $\mathbb {R} ^{n}-\{0\}\simeq S^{n-1}$ .
Било који сноп влакана $\pi :E\to B$ са влакнима $F_{b}$ хомотопно еквивалентним тачки има хомотопни еквивалентан укупни и базни простор. Ово генерализује претходна два примера пошто је $\pi :\mathbb {R} ^{n}-\{0\}\to S^{n-1}$ сноп влакана са влакнима $\mathbb {R} _{>0}$ .
Сваки векторски сноп је сноп влакана са хомотопијом влакана еквивалентном тачки.
$\mathbb {R} ^{n}-\mathbb {R} ^{k}\simeq S^{n-k-1}$ за било које $0\leq k<n$ , писањем $\mathbb {R} ^{n}-\mathbb {R} ^{k}$ као укупан простор снопа влакана $\mathbb {R} ^{k}\times (\mathbb {R} ^{n-k}-\{0\})\to (\mathbb {R} ^{n-k}-\{0\})$ , а затим примењујући горње хомотопске еквивалентности.
Ако је подкомплекс $A$ CW комплекса $X$ је контрактибилан, онда је количник простора $X/A$ хомотопски еквивалент $X$ .^[9]
Деформациона ретракција је хомотопска еквиваленција.

Нулта хомотопија

За функцију f се каже да је нулто-хомотопна ако је хомотопна константној функцији. (Хомотопија од f до константне функције се тада понекад назива нултом хомотопијом.) На пример, мапа f из јединичног круга S¹ у било који простор X је нулто-хомотопна управо када се може континуирано проширивати на мапу из јединичног диска D² у X који се слаже са f на граници.

Из ових дефиниција следи да је простор X контрактибилан ако и само ако је мапа идентитета из X у себе – која је увек хомотопска еквиваленција – нулто-хомотопна.

Види још

Хомологија

Референце

^ „Homotopy Definition & Meaning”. Приступљено 22. 4. 2022.
^ „Homotopy Type Theory Discussed - Computerphile”. Приступљено 22. 4. 2022.
^ Armstrong, M.A. (1979). Basic Topology. Springer. ISBN 0-387-90839-0.
^ „Homotopy | mathematics”. Encyclopedia Britannica (на језику: енглески). Приступљено 2019-08-17.
^ Spanier, Edwin (1994). Algebraic Topology. Springer. ISBN 0-387-94426-5.
^ „algebraic topology - Path homotopy and separately continuous functions”. Mathematics Stack Exchange.
^ Hatcher, Allen (2002). Algebraic topology. Cambridge: Cambridge University Press. стр. 185. ISBN 9780521795401. OCLC 45420394.
^ Archived at Ghostarchive and the Wayback Machine: Albin, Pierre (2019). „History of algebraic topology”.
^ Hatcher, Allen (2002). Algebraic topology. Cambridge: Cambridge University Press. стр. 11. ISBN 9780521795401. OCLC 45420394.

Литература

Armstrong, M.A. (1979). Basic Topology. Springer. ISBN 0-387-90839-0.
Hazewinkel Michiel, ур. (2001). „Homotopy”. Encyclopaedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1556080104.
Hazewinkel Michiel, ур. (2001). „Isotopy (in topology)”. Encyclopaedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1556080104.
Aleksandrov, P.S. (1969) [1956], „Chapter XVIII Topology”, Ур.: Aleksandrov, A.D.; Kolmogorov, A.N.; Lavrent'ev, M.A., Mathematics / Its Content, Methods and Meaning (2nd изд.), The M.I.T. Press
Croom, Fred H. (1989), Principles of Topology, Saunders College Publishing, ISBN 978-0-03-029804-2
Richeson, D. (2008), Euler's Gem: The Polyhedron Formula and the Birth of Topology, Princeton University Press
Ryszard Engelking (1989). General Topology. ISBN 3-88538-006-4. , Heldermann Verlag, Sigma Series in Pure Mathematics, December
Bourbaki; Elements of Mathematics: General Topology, Addison–Wesley (1966).
Breitenberger, E. (2006). „Johann Benedict Listing”. Ур.: James, I.M. History of Topology. North Holland. ISBN 978-0-444-82375-5.
Kelley, John L. (1975). General Topology. Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-90125-1.
Brown, Ronald (2006). Topology and Groupoids. Booksurge. ISBN 978-1-4196-2722-4. (Provides a well motivated, geometric account of general topology, and shows the use of groupoids in discussing van Kampen's theorem, covering spaces, and orbit spaces.)
Wacław Sierpiński, General Topology. 2000. ISBN 0-486-41148-6. , Dover Publications
Pickover, Clifford A. (2006). The Möbius Strip: Dr. August Möbius's Marvelous Band in Mathematics, Games, Literature, Art, Technology, and Cosmology . Thunder's Mouth Press. ISBN 978-1-56025-826-1. (Provides a popular introduction to topology and geometry)
Gemignani, Michael C. (1990) [1967], Elementary Topology (2nd изд.), Dover Publications Inc., ISBN 978-0-486-66522-1
Ronald Brown, `Groupoids and crossed objects in algebraic topology', Homology, Homotopy and Applications, 1 (1999) 1–78.
Ronald Brown, Philip J. Higgins, Rafael Sivera, Nonabelian Algebraic Topology. EMS Tracts in Mathematics. 15. 2011. ISBN 978-3-03719-083-8. arXiv:math/0407275  . doi:10.4171/083. MR 2841564
Čech, Eduard (1932), „Höherdimensionale Homotopiegruppen”, Verhandlungen des Internationalen Mathematikerkongress, Zürich .
Hatcher, Allen (2002), Algebraic topology, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-79540-1
Hazewinkel Michiel, ур. (2001). „Homotopy group”. Encyclopaedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1556080104.
Hopf, Heinz (1931), „Über die Abbildungen der dreidimensionalen Sphäre auf die Kugelfläche”, Mathematische Annalen, 104 (1): 637—665, doi:10.1007/BF01457962 .
Kamps, Klaus H.; Porter, Timothy (1997). Abstract homotopy and simple homotopy theory. River Edge, NJ: World Scientific Publishing. ISBN 981-02-1602-5. MR 1464944. doi:10.1142/9789812831989.
Toda, Hiroshi (1962). Composition methods in homotopy groups of spheres. Annals of Mathematics Studies. 49. Princeton, N.J.: Princeton University Press. ISBN 0-691-09586-8. MR 0143217.
Whitehead, George William (1978). Elements of homotopy theory. Graduate Texts in Mathematics. 61 (3rd изд.). New York-Berlin: Springer-Verlag. стр. xxi+744. ISBN 978-0-387-90336-1. MR 0516508.
Hubbard, John H.; West, Beverly H. (1995). Differential Equations: A Dynamical Systems Approach. Part II: Higher-Dimensional Systems. Texts in Applied Mathematics. 18. Springer. стр. 204. ISBN 978-0-387-94377-0.
Tait, Peter Guthrie (1. 2. 1883). „Johann Benedict Listing (obituary)”. Nature. 27 (692): 316—317. Bibcode:1883Natur..27..316P. doi:10.1038/027316a0  .
Johnstone, Peter T. (1983). „The point of pointless topology”. Bulletin of the American Mathematical Society. 8 (1): 41—53. doi:10.1090/s0273-0979-1983-15080-2  .
Artin, Michael (1962). Grothendieck topologies. Cambridge, MA: Harvard University, Dept. of Mathematics. Zbl 0208.48701.
Adams, Colin (2004). The Knot Book: An Elementary Introduction to the Mathematical Theory of Knots. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-3678-1.
Stadler, Bärbel M.R.; Stadler, Peter F.; Wagner, Günter P.; Fontana, Walter (2001). „The Topology of the Possible: Formal Spaces Underlying Patterns of Evolutionary Change”. Journal of Theoretical Biology. 213 (2): 241—274. Bibcode:2001JThBi.213..241S. CiteSeerX 10.1.1.63.7808  . PMID 11894994. doi:10.1006/jtbi.2001.2423.

Спољашње везе

Elementary Topology: A First Course Viro, Ivanov, Netsvetaev, Kharlamov.
Хомотопија на сајту Curlie (језик: енглески)
Topology Atlas
Topology Course Lecture Notes Aisling McCluskey and Brian McMaster, Topology Atlas.
Topology Glossary
Moscow 1935: Topology moving towards America. ISBN 978-1-4612-2972-8. , a historical essay by Hassler Whitney.

[1] „Homotopy Definition & Meaning”. Приступљено 22. 4. 2022.

[2] „Homotopy Type Theory Discussed - Computerphile”. Приступљено 22. 4. 2022.

[3] Armstrong, M.A. (1979). Basic Topology. Springer. ISBN 0-387-90839-0.

[4] „Homotopy | mathematics”. Encyclopedia Britannica (на језику: енглески). Приступљено 2019-08-17.

[5] Spanier, Edwin (1994). Algebraic Topology. Springer. ISBN 0-387-94426-5.

[6] „algebraic topology - Path homotopy and separately continuous functions”. Mathematics Stack Exchange.

[7] Hatcher, Allen (2002). Algebraic topology. Cambridge: Cambridge University Press. стр. 185. ISBN 9780521795401. OCLC 45420394.

[8] Archived at Ghostarchive and the Wayback Machine: Albin, Pierre (2019). „History of algebraic topology”.

[9] Hatcher, Allen (2002). Algebraic topology. Cambridge: Cambridge University Press. стр. 11. ISBN 9780521795401. OCLC 45420394.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]