Функција преноса

Функција преноса, један је од начина математичког описа динамичког понашања система. Углавном се користи у теорији аутоматског управљања, комуникација и дигиталне обраде сигнала. Представља диференцијални оператор, који изражава однос између улаза и излаза линеарног стационарног система. Знајући улаз система и функцију преноса, може се реконструисати излазни сигнал. Једноставније речено, преносна функција је математички приказ односа између улаза и излаза динамичког система.

У временском домену, такав систем карактерише импулсни одзив, трансформацијом улазног сигнала U(t) у излазни сигнал Y(t). Са одговарајућом трансформацијом могу се заменити улазни сигнал у U(s) и излазни у Y(s), па је њихов однос функција преноса. У теорији управљања, функција преноса система дефинише се као однос Лапласове трансформације излазног сигнала и улаза, са нултим почетним условима.

Карактеристике линеарних стационарних система:

Линеарност подразумева да однос, између улаза и излаза

система, задовољава исту законитост, у функцији времена.
Технички речено, линеарни систем има следећа својства:
ако је сигнал на улазу

x(t) = A·x₁(t) + B·x₂(t)

онда је сигнал на излазу система

y(t) = A·y₁(t) + B·y₂(t)

Излаз система y_i(t) је одговор на улазни сигнал (утицај) xi(t),
за било које константе A и B.

Стационарно, значи да је излаз система, као одговор на

било који улаз истог је временског кашњења, за било коју
апликацију. У ужем смислу, временско кашњење излаза биће
увек исто, у односу на улазни сигнал, услед утицаја система.

За континуалне сигнале, функција преноса помоћу Лапласа даје опште информације о систему, посебно информације о његовој стабилности.^[1]^[2]

Линеарни стационарни системи

При разматрању теорије линеарних стационарних система, усвојено је да је однос излазног и улазног сигнала функцију преноса:^[2]^[3]

Веза између временског и фреквентног домена.

W(s)={\frac {Y(s)}{U(s)}}

,

Где је:

$U(s)\!$ — улазни сигнал (улаз)
$Y(s)\!$ — излазни сигнал (излаз, или одзив)

У овом облику, улаз и излаз, добијени су са Лапласовом трансформацијом сигнала у временском домену $u(t)\!$ и $y(t)\!$ , сагласно релацијама:

U(s)={\mathcal {L}}\left\{u(t)\right\}\equiv \int \limits _{-\infty }^{\infty }u(t)e^{-st}\,dt

,

Y(s)={\mathcal {L}}\left\{y(t)\right\}\equiv \int \limits _{-\infty }^{\infty }y(t)e^{-st}\,dt

.

Дискретна функција преноса

За дигитални и дискретно непрекидни систем назива се дискретна функција преноса. Сигнал $u(k)\!$ — улазни дискретни сигнал одговарајућег система, а $y(k)\!$ — је дискретни излазни сигнал, $k=0,1,2,\dots \!$ . Тада се функција преноса система $W(z)\!$ може написати у облику:

W(z)={\frac {Y(z)}{U(z)}}

,

Где је $U(z)\!$ и $Y(z)\!$ — z-конверзија за сигнале $u(k)\!$ и $y(k)\!$ сагласно:

U(z)={\mathcal {Z}}\left\{u(k)\right\}\equiv \sum _{k=0}^{\infty }u(k)z^{-k}

,

Y(z)={\mathcal {Z}}\left\{y(k)\right\}\equiv \sum _{k=0}^{\infty }y(k)z^{-k}

.

Однос са другим динамичким карактеристикама

Амплитудно и фазно фреквентни одзив може се добити из функције преноса помоћу формалне замене са коплесном променљивом $s\!$ са $j\omega \!$ :

W(j\omega )\equiv W(s),s=j\omega \!

.

Импулсна функција преноса је оригинал за функцију преноса (Лапласове трансформације).

Особине функције преноса

За стационарне објекте преносна функција, сврстава се у рационалне функције са комплексном променљивом ( $s\!$ ):

W(s)={\frac {R(s)}{Q(s)}}={\frac {b_{0}s^{m}+b_{1}s^{m-1}+\dots +b_{m}}{a_{0}s^{n}+a_{1}s^{n-1}+\dots +a_{n}}}

.

Именилац функције преноса је карактеристичан полином система. Полови функције преноса су корени карактеристичног полинома.
У физички реалним системима, ред бројиоца преносне функције $m\!$ , не може прећи ред имениоца $n\!$ .
Импулсна функција преноса је оригинал за функцију преноса (пре Лапласове трансформације).

Матрица функције преноса

За вишеструки улаз и вишеструки излаз, уводи се систем матрице функције преноса. Матрица функције преноса од улаза вектора система $U(t)\!$ и од вектора излаза $Y(t)\!$ , представља матрицу $W=\{w_{i,j}\}\!$ , где су њени елементи $i\!$ , у томе реду $j\!$ . Друга колона представља функцију преноса система од $i\!$ , од координате вектора излаза система, на вектор улаза $j\!$ .

Функција преноса система са повратном спрегом

Са повратном спрегом

Када систем управљања поседује повратну спрегу (слика десно), тада су уочљиве две функције преноса:

Функција преноса система са затвореном повратном спрегом, која се назива
функција спрегнутог преноса

W_{s}(s)={\frac {G}{1+GH}}

,

функција преноса система са отвореном повратном спрегом, која се назива
функција повратног преноса^[2]

\ W(s)=\ GH

.

Управљање у инжињерству

У инжињерској теорији управљања, функција преноса је изведена помоћу Лапласове трансформације.

Функција преноса је примарни алат, који се користи у класичном управљању у енергетици. Међутим, он се показао гломазан за анализу система са више улаза и са више излаза, и у великој мери замењен је са приказом стања простора за овакве системе. Упркос томе, матрица функције преноса може се увек добити за било који линеарни систем, како би се анализирала динамика и друга својства. Сваки елеменат матрице је функција преноса, односи се на променљиви улаз и излаз.

Оптика

У оптици, функција преноса означава могућност модулације оптичког преноса контраста.

Пример, када се посматра серија црно-белих светлосних пруга, нацртаних са специфичном просторном фреквенцијом, квалитет слике може опадати. Бела пруга бледи док црне постају светлије.

функција преноса модулације ( $\mathrm {MTF}$ ) у одређеним просторним учестаностима је дефинисана:

\mathrm {MTF} (f)={\frac {M({slika})}{M({izvor})}}

Где модулација (М) зависи од следеће слике или интензитета осветљења:

M={\frac {(L_{\mathrm {max} }-L_{\mathrm {min} })}{(L_{\mathrm {max} }+L_{\mathrm {min} })}}

Види још

Референце

^ „Передаточная функция”. Архивирано из оригинала 07. 06. 2007. г. Приступљено 9. 4. 2011.
^ ^а ^б ^в „Funkcija prenosa linearnog sistema” (PDF). Приступљено 9. 4. 2011. ^{[мртва веза]}
^ Introduction to Control System Technology, Robert N. Bateson, Prentice-Hall Inc. 1999. ISBN 978-0-13-895483-3. стр. 5.

Спољашње везе

Анализа система
ECE 209: Review of Circuits as LTI Systems — Short primer on the mathematical analysis of (electrical) LTI systems.
ECE 209: Sources of Phase Shift — Gives an intuitive explanation of the source of phase shift in two simple LTI systems. Also verifies simple transfer functions by using trigonometric identities.

[Передаточная_функция-1] „Передаточная функция”. Архивирано из оригинала 07. 06. 2007. г. Приступљено 9. 4. 2011.

[-{Funkcija_prenosa_linearnog_sistema}--2] а ^б ^в „Funkcija prenosa linearnog sistema” (PDF). Приступљено 9. 4. 2011. ^{[мртва веза]}

[ItCST-5-3] Introduction to Control System Technology, Robert N. Bateson, Prentice-Hall Inc. 1999. ISBN 978-0-13-895483-3. стр. 5.

[1]

[2]

[3]