Топлотна проводљивост

Топлотна проводљивост је у физици скаларна величина, k, која описује способност супстанције да проводи топлоту. Што је топлотна проводљивост већа, то се већа количина топлоте може пренети кроз исти попречни пресек у истом времену.

Дефиниција

Топлотна проводљивост је количина топлоте, Q, која се за време t спроведе кроз супстанцу на растојању L, у правцу нормалном на попречни пресек површине S, услед температурне разлике ΔT, у стационарним условима и када је пренос топлоте узрокован искључиво температурном разликом.

топлотна проводљивост = количина проведене топлоте × растојање / (површина × температурна разлика)

k={\frac {Q}{t}}\times {\frac {L}{S\times \Delta T}}

Топлотна проводљивост материјала зависи од његовог хемијског састава, грађе, агрегатног стања као и температуре. Количина топлоте која се пренесе у јединици времена је зависна од топлотне проводљивости и у диференцијалном облику се може представити

{\frac {dQ}{dt}}=kS{\frac {dT}{dx}}

где је:

dT/dx је градијант температуре
S површина кроз коју пролази топлота
k је константа топлотне проводљивости.

Јединица за топлотну проводљивост у СИ систему је - W/(m K) = W m⁻¹ K⁻¹ (ват кроз метар-келвин).

Једноставна дефиниција

Нека је чврсти материјал постављен између две средине различитих температура. Нека је $T_{1}$ температура при $x=0$ и $T_{2}$ температура при $x=L$ , и претпоставимо да је $T_{2}>T_{1}$ . Могућа реализација овог сценарија је зграда у хладном зимском дану: чврсти материјал у овом случају би био зид зграде, који одваја хладно спољашње окружење од топлог унутрашњег окружења.

Према другом закону термодинамике, топлота ће тећи из топле средине у хладну јер се температурна разлика изједначава дифузијом. Ово се квантификује у смислу топлотног тока $q$ , који даје брзину, по јединици површине, којом топлота тече у датом правцу (у овом случају минус x-смер). У многим материјалима, примећено је да је $q$ директно пропорционално температурној разлици и обрнуто пропорционално растојању одвајања $L$ :^[1]

q=-k\cdot {\frac {T_{2}-T_{1}}{L}}.

Константа пропорционалности $k$ је топлотна проводљивост; то је физичко својство материјала. У садашњем сценарију, пошто је $T_{2}>T_{1}$ топлота тече у минус x-смеру и $q$ је негативно, што заузврат значи да је $k>0$ . Генерално, $k$ је увек дефинисано као позитивно. Иста дефиниција $k$ такође се може проширити на гасове и течности, под условом да су други начини транспорта енергије, као што су конвекција и зрачење, елиминисани или узети у обзир.

Претходно извођење претпоставља да се $k$ не мења значајно како температура варира од $T_{1}$ до $T_{2}$ . Случајеви у којима температурна варијација $k$ није занемарљива морају се размотрити коришћењем општије дефиниције $k$ о којој се говори у наставку.

Општа дефиниција

Топлотна проводљивост се дефинише као транспорт енергије услед насумичног кретања молекула преко температурног градијента. Разликује се од транспорта енергије конвекцијом и молекуларним радом по томе што не укључује макроскопске токове или унутрашње напоне који обављају рад.

Проток енергије услед топлотне проводљивости класификован је као топлота и квантификован је вектором $\mathbf {q} (\mathbf {r} ,t)$ , који даје топлотни ток на позицији $\mathbf {r}$ и времену $t$ . Према другом закону термодинамике, топлота тече од високе до ниске температуре. Стога је разумно претпоставити да је $\mathbf {q} (\mathbf {r} ,t)$ пропорционално градијенту температурног поља $T(\mathbf {r} ,t)$ , i.e.

\mathbf {q} (\mathbf {r} ,t)=-k\nabla T(\mathbf {r} ,t),

где је константа пропорционалности, $k>0$ , топлотна проводљивост. Ово се зове Фуријеов закон проводљивости топлоте. Упркос свом имену, то није закон већ дефиниција топлотне проводљивости у смислу независних физичких величина $\mathbf {q} (\mathbf {r} ,t)$ и $T(\mathbf {r} ,t)$ .^[2]^[3] Као такав, његова корисност зависи од способности да се одреди $k$ за дати материјал под датим условима. Сама константа $k$ обично зависи од $T(\mathbf {r} ,t)$ и тиме имплицитно од простора и времена. Експлицитна зависност од простора и времена такође може да се јави ако је материјал нехомоген или се мења током времена.^[4]

У неким чврстим телима, топлотна проводљивост је анизотропна, тј. топлотни ток није увек паралелан са температурним градијентом. Да би се објаснило такво понашање, мора се користити тензорски облик Фуријеовог закона:

\mathbf {q} (\mathbf {r} ,t)=-{\boldsymbol {\kappa }}\cdot \nabla T(\mathbf {r} ,t)

где је ${\boldsymbol {\kappa }}$ симетричан тензор другог ранга који се назива тензор топлотне проводљивости.^[5]

Имплицитна претпоставка у горњем опису је присуство локалне термодинамичке равнотеже, која омогућава дефинисање температурног поља $T(\mathbf {r} ,t)$ . Ова претпоставка би могла бити нарушена у системима који нису у стању да постигну локалну равнотежу, што се може догодити у присуству јаких неравнотежних трендова или дуготрајних интеракција.

Остале количине

У инжењерској пракси, уобичајено је радити у смислу величина које су деривати топлотне проводљивости и имплицитно узимају у обзир карактеристике специфичне за дизајн као што су димензије компоненти.

На пример, топлотна проводљивост се дефинише као количина топлоте која пролази у јединици времена кроз плочу одређене површине и дебљине када се њене супротне стране разликује у температури за један келвин. За плочу топлотне проводљивости $k$ , површине $A$ и дебљине $L$ , проводљивост је $kA/L$ , мерена у W⋅K⁻¹.^[6] Однос између топлотне проводљивости и проводности је аналоган односу између електричне проводљивости и електричне проводности.

Топлотни отпор је инверзан топлотној проводљивости.^[6] То је погодна мера за коришћење у вишекомпонентном дизајну пошто су топлотни отпори адитивни када се јављају у серији.^[7]

Такође постоји мера позната као коефицијент преноса топлоте: количина топлоте која прође у јединици времена кроз јединицу површине плоче одређене дебљине када се њене супротне стране разликују у температури за један келвин.^[8] У ASTM C168-15, ова величина независна од површине се назива „топлотна проводљивост“.^[9] Реципрочна вредност коефицијента преноса топлоте је топлотна изолација. Укратко, за плочу топлотне проводљивости $k$ , површине $A$ и дебљине $L$ , важи да је

топлотна проводљивост = $kA/L$ , мерено у W⋅K⁻¹.
- топлотни отпор = $L/(kA)$ , мерено у K⋅W⁻¹.
коефицијент преноса топлоте = $k/L$ , мерено у W⋅K⁻¹⋅m⁻².
- топлотна изолација = $L/k$ , мерено у K⋅m²⋅W⁻¹.

Коефицијент преноса топлоте је такође познат као топлотна пропустљивост у смислу да се материјал може посматрати као да пропушта топлоту да протиче.^[10]

Додатни израз, топлотна пропусност, квантификује топлотну проводљивост структуре заједно са преносом топлоте услед конвекције и зрачења. То се мери у истим јединицама као топлотна проводљивост и понекад је позната као композитна топлотна проводљивост. Такође се користи и термин U-вредност.

Коначно, топлотна дифузивност $\alpha$ комбинује топлотну проводљивост са густином и специфичном топлотом:^[11]

\alpha ={\frac {k}{\rho c_{p}}}

.

Као такав, она квантификује топлотну инерцију материјала, односно релативну потешкоћу у загревању материјала на дату температуру коришћењем извора топлоте примењених на граници.^[12]

Видеман-Францов закон

На основу Видеман-Францовог закона (енгл. Wiedemann-Franz law), добри електрични проводници су и добри топлотни проводници. За метале специфична електрична проводљивост је упоредива са топлотном проводљивошћу:^[13]

$\sigma \sim k$

због тога што су слободни електрони који се налазе у великом броју у неким металима заслужни како за електрични, тако и за топлотни транспорт.

Повезаност са топлотним капацитетом

На основу кинетичке теорије гасова, топлотна проводљивост је повезана са топлотним капацитетом преко законитости^[14]:

$k={\frac {1}{3}}C_{v}\lambda v$ ,

где је $C_{v}$ волуметријски топлотни капацитет (топлотни капацитет по јединици запремине), $\lambda$ је средњи слободни пут носиоца топлоте, а $v$ је њихова брзина.

Електронски транспорт

У случајевима када су електрони носиоци топлотне енергије, топлотни капацитет је линеаран са температуром, а средњи слободни пут је приближно константан, тако да се добија да топлотна проводљивост линеарно расте са температуром:

$k\sim T$

Фононски транспорт

Када су носиоци топлотне енергије фонони, топлотни капацитет расте кубно са температуром, а средњи слободни пут је приближно константан, тако да топлотна проводљивост расте са температуром по кубном закону:

$k\sim T^{3}$

Списак топлотних проводљивости

Приближна вредност топлотне проводљивости неких материјала је дат у следећој табели:

материјал	Топлотна проводљивост W·m⁻¹·K⁻¹
Дијамант	1000-2600
Сребро	406
Бакар	385
Злато	320
Алуминијум	205
Месинг	109
Платина	70
Челик	50.2
Олово	34.7
Жива	8.3
Кварц	8
Лед	1.6
Стакло	0.8
Вода	0.6
Дрво	0.04-0.12
Вуна	0.05
Стиропор	0.038
Ваздух (300 K, 100 kPa)	0.026
Вакуум (свемир)	0

Види још

Електрична проводљивост

Референце

^ Bird, Stewart & Lightfoot 2006, стр. 266.
^ Bird, Stewart & Lightfoot 2006, стр. 266–267.
^ Holman, J.P. (1997), Heat Transfer (8th изд.), McGraw Hill, стр. 2, ISBN 0-07-844785-2
^ Bejan, Adrian (1993), Heat Transfer, John Wiley & Sons, стр. 10—11, ISBN 0-471-50290-1
^ Bird, Stewart & Lightfoot 2006, стр. 267.
^ ^а ^б Bejan, стр. 34
^ Bird, Stewart & Lightfoot 2006, стр. 305.
^ Gray, H.J.; Isaacs, Alan (1975). A New Dictionary of Physics (2nd изд.). Longman Group Limited. стр. 251. ISBN 0582322421.
^ ASTM C168 − 15a Standard Terminology Relating to Thermal Insulation.
^ „Thermal Performance: Thermal Mass in Buildings”. greenspec.co.uk. Приступљено 2022-09-13.
^ Bird, Stewart & Lightfoot 2006, стр. 268.
^ Incropera, Frank P.; DeWitt, David P. (1996), Fundamentals of heat and mass transfer (4th изд.), Wiley, стр. 50—51, ISBN 0-471-30460-3
^ „Is there a relationship between electrical conductivity and thermal conductivity?”. www.physlink.com. Приступљено 16. 09. 2019.
^ „Conduction and thermal conductivity” (PDF). Архивирано из оригинала (PDF) 27. 04. 2020. г.

Литература

Callister, William (2003). „Appendix B”. Materials Science and Engineering - An Introduction. John Wiley & Sons, INC. стр. 757. ISBN 978-0-471-22471-6.
Halliday, David; Resnick, Robert; & Walker, Jearl. Fundamentals of Physics . John Wiley and Sons, INC., NY. (5th изд.). 1997. ISBN 978-0-471-10558-9. Недостаје или је празан параметар |title= (помоћ).
Srivastava G. P (1990), "The Physics of Phonons." Adam Hilger, IOP Publishing Ltd, Bristol.
TM 5-852-6 AFR 88-19, Volume 6 (Army Corp of Engineers publication)
Bird, R. Byron; Stewart, Warren E.; Lightfoot, Edwin N. (2007), Transport Phenomena (2nd изд.), John Wiley & Sons, Inc., ISBN 978-0-470-11539-8 . A standard, modern reference.
Incropera, Frank P.; DeWitt, David P. (1996), Fundamentals of heat and mass transfer (4th изд.), Wiley, ISBN 0-471-30460-3
Bejan, Adrian (1993), Heat Transfer, John Wiley & Sons, ISBN 0-471-50290-1
Holman, J.P. (1997), Heat Transfer (8th изд.), McGraw Hill, ISBN 0-07-844785-2
Callister, William D. (2003), „Appendix B”, Materials Science and Engineering - An Introduction, John Wiley & Sons, ISBN 978-0-471-22471-6
Halliday, David; Resnick, Robert; & Walker, Jearl. Fundamentals of Physics . John Wiley and Sons, New York. (5th изд.). 1997. ISBN 978-0-471-10558-9. Недостаје или је празан параметар |title= (помоћ). An elementary treatment.
Schroeder, Daniel V. (1999), An Introduction to Thermal Physics, Addison Wesley, ISBN 978-0-201-38027-9 . A brief, intermediate-level treatment.
Reif, F. (1965), Fundamentals of Statistical and Thermal Physics, McGraw-Hill . An advanced treatment.
Balescu, Radu (1975), Equilibrium and Nonequilibrium Statistical Mechanics, John Wiley & Sons, ISBN 978-0-471-04600-4
Chapman, Sydney; Cowling, T.G. (1970), The Mathematical Theory of Non-Uniform Gases (3rd изд.), Cambridge University Press . A very advanced but classic text on the theory of transport processes in gases.
Reid, C. R., Prausnitz, J. M., Poling B. E., Properties of gases and liquids, IV edition, Mc Graw-Hill, 1987
Srivastava G. P (1990), The Physics of Phonons. Adam Hilger, IOP Publishing Ltd, Bristol

Спољашње везе

[FOOTNOTEBirdStewartLightfoot2006266-1] Bird, Stewart & Lightfoot 2006, стр. 266.

[FOOTNOTEBirdStewartLightfoot2006266–267-2] Bird, Stewart & Lightfoot 2006, стр. 266–267.

[3] Holman, J.P. (1997), Heat Transfer (8th изд.), McGraw Hill, стр. 2, ISBN 0-07-844785-2

[4] Bejan, Adrian (1993), Heat Transfer, John Wiley & Sons, стр. 10—11, ISBN 0-471-50290-1

[FOOTNOTEBirdStewartLightfoot2006267-5] Bird, Stewart & Lightfoot 2006, стр. 267.

[Bejan,_p._34-6] а ^б Bejan, стр. 34

[FOOTNOTEBirdStewartLightfoot2006305-7] Bird, Stewart & Lightfoot 2006, стр. 305.

[8] Gray, H.J.; Isaacs, Alan (1975). A New Dictionary of Physics (2nd изд.). Longman Group Limited. стр. 251. ISBN 0582322421.

[ReferenceA-9] ASTM C168 − 15a Standard Terminology Relating to Thermal Insulation.

[10] „Thermal Performance: Thermal Mass in Buildings”. greenspec.co.uk. Приступљено 2022-09-13.

[FOOTNOTEBirdStewartLightfoot2006268-11] Bird, Stewart & Lightfoot 2006, стр. 268.

[12] Incropera, Frank P.; DeWitt, David P. (1996), Fundamentals of heat and mass transfer (4th изд.), Wiley, стр. 50—51, ISBN 0-471-30460-3

[13] „Is there a relationship between electrical conductivity and thermal conductivity?”. www.physlink.com. Приступљено 16. 09. 2019.

[14] „Conduction and thermal conductivity” (PDF). Архивирано из оригинала (PDF) 27. 04. 2020. г.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]