Допуна до потпуног квадрата

Допуна до потпуног квадрата је техника елементарне алгебре са применама у различитим областима математике. Користи се, на пример, у алгебри при решавању квадратне једначине, у аналитичкој геометрији да одреди график квадратне функције, у инфинитезималном рачуну при одређивању вредности неких интеграла, и при рачунању Лапласових трансформација. Циљ ове технике је да се елиминише линеарни члан квадратног тринома.

Другим речима, квадратни трином облика

$ax^{2}+bx+c\,\!$

са трансформише у облик

$a(\cdots \cdots )^{2}+{\mbox{const}}.\,$

У овом контексту, слободан члан, означен са const не зависи од променљиве x. Израз у загради је облика (x − const). Дакле, полазни трином ax² + bx + c  се трансформише у

$a(x-\alpha \,)^{2}+\beta \,$

где треба одредити $\alpha \,$ и $\beta \,$.

У математици је допуна до потпуног квадрата основна алгебарска операција која се често без посебног наглашавања примењује у различитим рачуницама са квадратним полиномима.

Преглед

Основа

Основа за ову технику је једноставна формула елементарне алгебре за одређивање квадрата бинома:

$(x+p)^{2}\,=\,x^{2}+2px+p^{2}.\,\!$

На пример:

${\begin{alignedat}{2}(x+3)^{2}\,&=\,x^{2}+6x+9&&(p=3)\\[3pt](x-5)^{2}\,&=\,x^{2}-10x+25\qquad &&(p=-5).\end{alignedat}}$

Код било ког потпуног квадрата, број p је увек половина коефицијента уз x, а слободан члан је једнак p².

Основни пример

Нека је дат следећи квадратни полином:

$x^{2}+10x+28.\,\!$

Овај трином није потпуни квадрат, пошто 28 није квадрат броја 5:

$(x+5)^{2}\,=\,x^{2}+10x+25.\,\!$

Ипак, могуће је полазни полином записати као збир квадрата и константе:

$x^{2}+10x+28\,=\,(x+5)^{2}+3.$

---

Општи поступак

Произвољан монични квадратни трином

$x^{2}+bx+c,\,\!$

је могуће записати у облику квадрата бинома чија се два прва члана поклапају са датим:

$\left(x+{\tfrac {1}{2}}b\right)^{2}\,=\,x^{2}+bx+{\tfrac {1}{4}}b^{2}.$

Квадрат овог бинома се разликује од полазног тринома само у вредности слободног члана. Зато се може записати

$x^{2}+bx+c\,=\,\left(x+{\tfrac {1}{2}}b\right)^{2}+\beta \,,$

где је $\beta \,$ константа. Управо овај поступак се назива допуном до потпуног квадрата. Примери:

${\begin{alignedat}{1}x^{2}+6x+11\,&=\,(x+3)^{2}+2\\[3pt]x^{2}+14x+30\,&=\,(x+7)^{2}-19\\[3pt]x^{2}-2x+7\,&=\,(x-1)^{2}+6.\end{alignedat}}$

Немонични трином

Уколико је коефицијент уз квадратни члан различит од нуле

$ax^{2}+bx+c\,\!$

потребно је најпре факторисати полином у облику производа коефицијента a и квадратног тринома, и затим допунити добијени монични трином до потпуног квадрата.

Пример:

${\begin{aligned}3x^{2}+12x+27&=3(x^{2}+4x+9)\\&{}=3\left((x+2)^{2}+5\right)\\&{}=3(x+2)^{2}+15\end{aligned}}$

Захваљујући овоме, могуће је произвољан квадратни полином записати у облику

$a(x-\alpha \,)^{2}+\beta .\,\!$

Формула

Резуктат примене технике се може записати у облику формуле. У општем случају:

$ax^{2}+bx+c\;=\;a(x-\alpha )^{2}+\beta ,\quad {\text{gde je}}\quad \alpha =-{\frac {b}{2a}}\quad \wedge \quad \beta =c-{\frac {b^{2}}{4a}}.$

Посебно, када је a=1:

$x^{2}+bx+c\;=\;(x-\alpha )^{2}+\beta ,\quad {\text{gde je}}\quad \alpha =-{\frac {b}{2}}\quad \wedge \quad \beta =c-{\frac {b^{2}}{4}}.$

Матрична једнакост је врло слична:

$x^{\mathrm {T} }Ax+x^{\mathrm {T} }b+c=(x-\alpha )^{\mathrm {T} }A(x-\alpha )+\beta \quad {\text{gde je}}\quad \alpha =-{\frac {1}{2}}A^{-1}b\quad \wedge \quad \beta =c-{\frac {1}{4}}b^{\mathrm {T} }A^{-1}b$

Веза са графиком

Графици квадратних функција померени дуж x-осе за $\alpha \,$ = 0, 5, 10, и 15.

Графици квадратних функција померени дуж y-осе за $\beta \,$ = 0, 5, 10, и 15.

Графици квадратних функција померени дуж x-осе и y-осе за $\alpha \,$ = $\beta \,$ = 0, 5, 10, и 15.

У аналитичкој геометрији, график произвољне квадратне функције је парабола у xОy-равни. Уколико је квадратни трином облика

$(x-\alpha \,)^{2}+\beta \,\quad \vee \quad a(x-\alpha \,)^{2}+\beta \,$

бројеви $\alpha \,$ и $\beta \,$ се могу схватити као декартове координате темена параболе. То значи да је $\alpha \,$ x-координата осе симетрије, а $\beta \,$ је минимална (или максимална, ако је a < 0) вредност квадратне функције.

Другим речима, график функције ƒ(x) = x² је парабола чије је теме у координатном почетку (0, 0). График функције ƒ(x − $\alpha \,$) = (x − $\alpha \,$)² је парабола померена удесно за $\alpha \,$ чије је теме у тачки ($\alpha \,$, 0), као што је приказано на горњој слици. Осим тога, график функције ƒ(x) + $\beta \,$ = x² + $\beta \,$ је парабола померена дуж y-осе на позитивну страну за $\beta \,$, те јој је теме у тачки (0, $\beta \,$), као што је приказано на другој слици. Кобиновањем хоризонталног и вертикалног померања добија се ƒ(x − $\alpha \,$) + $\beta \,$ = (x − $\alpha \,$)² + $\beta \,$ што је парабола померена удесно за $\alpha \,$ и горе за $\beta \,$ са теменом у тачки ($\alpha \,$, $\beta \,$), као што се може видети на трећој слици.

Решавање квадратних једначина

Допуна до потпуног квадрата се може користити за решавање произвољне квадратне једначине. На пример:

$x^{2}+6x+5=0.\,\!$

У првом кораку се полазни трином допуни до потпуног квадрата:

$(x+3)^{2}-4=0.\,\!$

Затим се примени формула за разлику квадрата:

$(x+3-2)(x+3+2)=0\,\!$

$(x+1)(x+5)=0\,\!$

Одатле је

$x+1=0\quad \vee \quad x+5=0,$

па су решења полазне једначине

$x=-1\quad \vee \quad x=-5.$

Ово се може применити на произвољну квадратну једначину. Када је коефицијент уз x² различит од 1, први корак ће бити дељење једначине са тим коефицијентом: погледати, на пример, не-монични случај.

Ирационални и комплексни корени

За разлику од метода који користе факторизацију једначине, поуздану само у случају када су корени рационални, допуна до потпуног квадрата ће утврдити корене квадратне једначине чак и тада када су они ирационални или комплексни. На пример, дата је једначина:

$x^{2}-10x+18=0.\,\!$

Након допуне до потпуног квадрата биће

$(x-5)^{2}-7=0,\,\!$

па је

$(x-5-{\sqrt {7}})(x-5+{\sqrt {7}})=0.\,\!$

Значи да су корени

$x=5-{\sqrt {7}}\quad \vee \quad x=5+{\sqrt {7}},\,$

што се може записати и са

$x=5\pm {\sqrt {7}}.\,$

Једначине чији су корени комплексни могу се решавати на исти начин:

${\begin{array}{c}x^{2}+4x+5\,=\,0\\[6pt](x+2)^{2}+1\,=\,0\\[6pt](x+2+i)(x+2-i)\,=\,0\\[6pt]x\,=\,-2\pm i.\end{array}}$

Немонична једначина

Уколико је потребно решити квадратну једначину чији водећи коефицијент није једнак јединици, најпре је треба поделити са тим коефицијентом:

${\begin{array}{c}2x^{2}+7x+6\,=\,0\\[6pt]x^{2}+{\tfrac {7}{2}}x+3\,=\,0\\[6pt]\left(x+{\tfrac {7}{4}}\right)^{2}-{\tfrac {1}{16}}\,=\,0\\[6pt]\left(x+{\tfrac {7}{4}}-{\tfrac {1}{4}}\right)\left(x+{\tfrac {7}{4}}+{\tfrac {1}{4}}\right)\,=\,0\\[6pt]x=-{\tfrac {3}{2}}\quad \vee \quad x=-2.\end{array}}$

Друге примене

Интеграција

Ова техника се може користити за израчунавање било ког интеграла облика

$\int {\frac {dx}{ax^{2}+bx+c}},$

уз употребу основних једнакости:

$\int {\frac {dx}{x^{2}-a^{2}}}={\frac {1}{2a}}\ln \left|{\frac {x-a}{x+a}}\right|+C\quad {\text{and}}\quad \int {\frac {dx}{x^{2}+a^{2}}}={\frac {1}{a}}\arctan \left({\frac {x}{a}}\right)+C.$

На пример, нека је дат интеграл:

$\int {\frac {dx}{x^{2}+6x+13}}.$

Допуном до потпуног квадрата тринома у имениоцу добија се:

$\int {\frac {dx}{(x+3)^{2}+4}}\,=\,\int {\frac {dx}{(x+3)^{2}+2^{2}}}.$

Добијени интеграл се може израчунати коришћењем смене u = x + 3:

$\int {\frac {dx}{(x+3)^{2}+4}}\,=\,{\frac {1}{2}}\arctan \left({\frac {x+3}{2}}\right)+C.$

Комплексни бројеви

Уколико су у изразу

$|z|^{2}-b^{*}z-bz^{*}+c,\,$

z и b комплексни бројеви, z^* и b^* су њихови конјугати, и нека је c реалан број. Употребом идентитета |u|² = uu^* могуће је записати дати израз на следећи начин:

$|z-b|^{2}-|b|^{2}+c,\,\!$

одакле се јасно види да је у питању реалан број. Запис следи из следећег низа једнакости:

${\begin{aligned}|z-b|^{2}&{}=(z-b)(z-b)^{*}\\&{}=(z-b)(z^{*}-b^{*})\\&{}=zz^{*}-zb^{*}-bz^{*}+bb^{*}\\&{}=|z|^{2}-zb^{*}-bz^{*}+|b|^{2}.\end{aligned}}$

У следећем изразу

$ax^{2}+by^{2}+c,\,\!$

нека су a, b, c, x, и y реални бројеви, и нека је a > 0 и b > 0, онда се полазни израз може приказати као квадрат апсолутне вредности комплексног броја. Ако се дефинише

$z={\sqrt {a}}\,x+i{\sqrt {b}}\,y,$

биће

${\begin{aligned}|z|^{2}&{}=zz^{*}\\&{}=({\sqrt {a}}\,x+i{\sqrt {b}}\,y)({\sqrt {a}}\,x-i{\sqrt {b}}\,y)\\&{}=ax^{2}-i{\sqrt {ab}}\,xy+i{\sqrt {ba}}\,yx-i^{2}by^{2}\\&{}=ax^{2}+by^{2},\end{aligned}}$

па је

$ax^{2}+by^{2}+c=|z|^{2}+c.\,\!$

Геометријско објашњење

Нека је потребно применити ову технику на следећу једначину

$x^{2}+bx=a.\,$

Како x² представља површину квадрата странице x, а bx представља површину правоугаоника са страницама b и x, процес допуне до потпуног квадрата се може представити визуелно помоћу одговарајућих четвороуглова.

Уколико се квадрат x² и правоугаоник bx једноставно наместе тако да формирају већи квадрат, испоставиће се да њему фали један део. Члан (b/2)² који се додаје на обе стране горње једначине представља управо површину недостајућег ћошка, одакле и потиче фраза „допуна до потпуног квадрата“.

Варијација технике

Као што се обично наводи, допуна до потпуног квадрата подразумева додавање трећег члана, v ² на прва два члана развијене формуле за квадрат бинома:

$u^{2}+2uv\,$

чиме се добија прави квадрат. У неким ситуацијама потребно је додати средњи члан, или као 2uv или −2uv, на израз облика:

$u^{2}+v^{2}\,$

чиме се поново добија потпуни квадрат.

Пример: збир позитивног броја и његове реципрочне вредности

Како важи

${\begin{aligned}x+{1 \over x}&{}=\left(x-2+{1 \over x}\right)+2\\&{}=\left({\sqrt {x}}-{1 \over {\sqrt {x}}}\right)^{2}+2\end{aligned}}$

следи да је збир позитивног броја x и његове реципрочне вредности увек већи или једнак 2. Како је квадрат реалног израза увек већи или једнак нули, добија се наведено ограничење; јендакост са 2 се постиже само онда када је x = 1, чиме се елиминише квадратни сабирак.

Пример: факторизација једноставног полинома четвртог степена

Нека је дат бином

$x^{4}+324.\,\!$

Он се може написати у облику

$(x^{2})^{2}+(18)^{2},\,\!$

где је средњи члан 2(x²)(18) = 36x². Одатле следи

${\begin{aligned}x^{4}+324&{}=(x^{4}+36x^{2}+324)-36x^{2}\\&{}=(x^{2}+18)^{2}-(6x)^{2}\\&{}=(x^{2}+18+6x)(x^{2}+18-6x)\\&{}=(x^{2}+6x+18)(x^{2}-6x+18)\end{aligned}}$

(у последњем реду су мономи поређани по опадајућим степенима).

Спољашње везе

• Completing the square на mathworld.wolfram.com (језик: енглески)
• Completing the square на planetmath.org (језик: енглески)