Аритметичка прогресија

У математици, аритметичка прогресија (АП) или аритметички низ је низ бројева таквих да је разлика између узастопних чланова константна. На пример, ред 5, 7, 9, 11, 13, 15 … је аритметичка прогресија са међусобном разликом 2.

Ако је почетни члан аритметичке прогресије $a_{1}$ и међусобна разлика узастопних чланова d, онда је n-ти члан низа ($a_{n}$) дат формулом:

$\ a_{n}=a_{1}+(n-1)d,$

и генерално

$\ a_{n}=a_{m}+(n-m)d.$

Коначан део аритметичке прогресије се зове коначна аритметичка прогресија, а понекад се само зове аритметичка прогресија. Збир коначне аритметичке прогресије се назива аритметички низ.

Понашање аритметичке прогресије зависи од међусобне разлике d. Ако је међусобна разлика:

• Позитивна, чланови ће расти ка позитивној бесконачности.
• Негативни, чланови ће расти ка негативној бесконачности.

Збир

2	+	5	+	8	+	11	+	14	=	40
14	+	11	+	8	+	5	+	2	=	40
16	+	16	+	16	+	16	+	16	=	80

Обрачун збира 2 + 5 + 8 + 11 + 14. Када је низ обрнут и додаје себи члан по члан, резултујући низ има једну поновљену вредност у себи, једнаку збиру првог и последњег броја (2 + 14 = 16). Тако је 16 × 5 = 80 дупли збир.

Збир чланова коначне аритметичке прогресије се зове аритметички низ. На пример, размотримо збир:

$2+5+8+11+14$

Збир може бити брзо пронађен множењем броја n чланова који се додају (овде 5) збиром првог и последњег члана прогресије (овде 2 + 14 = 16), и дељењем 2:

${\frac {n(a_{1}+a_{n})}{2}}$

У горњем случају, добијамо једначину:

$2+5+8+11+14={\frac {5(2+14)}{2}}={\frac {5\times 16}{2}}=40.$

Формула ради за било које реалне бројеве $a_{1}$ и $a_{n}$. На пример:

$\left(-{\frac {3}{2}}\right)+\left(-{\frac {1}{2}}\right)+{\frac {1}{2}}={\frac {3\left(-{\frac {3}{2}}+{\frac {1}{2}}\right)}{2}}=-{\frac {3}{2}}.$

Извођење

Анимирани доказ за формулу која даје збир првих целих бројева 1+2+...+n.

За извођење формуле изнад, треба почети изражавањем аритметичког низа на два различита начина: 

$S_{n}=a_{1}+(a_{1}+d)+(a_{1}+2d)+\cdots +(a_{1}+(n-2)d)+(a_{1}+(n-1)d)$

$S_{n}=(a_{n}-(n-1)d)+(a_{n}-(n-2)d)+\cdots +(a_{n}-2d)+(a_{n}-d)+a_{n}.$

Додавање обе стране две једначине, све чланови који се односе на d поништити:

$\ 2S_{n}=n(a_{1}+a_{n}).$

Дељење обе стране 2 доводи до уобичајеног облика једначине:

$S_{n}={\frac {n}{2}}(a_{1}+a_{n}).$

Алтернативна форма резултата из поновног додавања замене: $a_{n}=a_{1}+(n-1)d$:

$S_{n}={\frac {n}{2}}[2a_{1}+(n-1)d].$

Додатно, главна вредност низа може бити израчуната помоћу: $S_{n}/n$:

${\overline {n}}={\frac {a_{1}+a_{n}}{2}}.$

Године 499. АД Ариабата, истакнути математичар-астроном из класичног доба индијске математике и индијске астрономије, је дао овај метод у Ариабатији (одељак 2.18).

Производ

Производ чланова коначне аритметичке прогресије са почетним чланом a₁, међусобним разликама d, и n чланова укупно се одређује у затвореном изразу

$a_{1}a_{2}\cdots a_{n}=d{\frac {a_{1}}{d}}d({\frac {a_{1}}{d}}+1)d({\frac {a_{1}}{d}}+2)\cdots d({\frac {a_{1}}{d}}+n-1)=d^{n}{\left({\frac {a_{1}}{d}}\right)}^{\overline {n}}=d^{n}{\frac {\Gamma \left(a_{1}/d+n\right)}{\Gamma \left(a_{1}/d\right)}},$

где $x^{\overline {n}}$ означава растуће факторијеле и $\Gamma$ означава Гама функцију. (Приметимо да формула није валидна када је $a_{1}/d$ i+негативан цео број или нула.)

Ово је генералисана форма чињенице да је производ прогресије $1\times 2\times \cdots \times n$ дат факторијелом $n!$ што производи 

$m\times (m+1)\times (m+2)\times \cdots \times (n-2)\times (n-1)\times n\,\!$

за позитивне целе бројеве $m$ и $n$ и дат је формулом

${\frac {n!}{(m-1)!}}.$

Узимајући пример одозго, производ чланова аритметичке прогресије дат као  a_n = 3 + (n-1)(5) до 50. члана је

$P_{50}=5^{50}\cdot {\frac {\Gamma \left(3/5+50\right)}{\Gamma \left(3/5\right)}}\approx 3.78438\times 10^{98}.$

Стандардна девијација

Стандардна девијација било које формуле аритметичке прогресије се може израчунати преко формуле:

$\sigma =|d|{\sqrt {\frac {(n-1)(n+1)}{12}}}$

где је $n$ број чланова у прогресији, а $d$ је међусобна разлика између чланова

Пресек

Пресек било које две дупле бесконачне аритметичке прогресије је или празан или друга аритметичка прогресија, која се може пронаћи коришћењем теореме кинески подсетник. Ако сваке две прогресије у породици или дупле аритметичке прогресије имају не-празан пресек, онда постоји број заједнички за све њих; то је бесконачна аритметичка прогресија из Хели породице. Међутим, пресек бесконачно много бесконачних аритметичких прогресија може бити један број, пре него сама бесконачна прогресија.

 

Формуле на длану 

Ако је

$a_{1}$ први члан аритметичке прогресије.

$a_{n}$ n-ти члан аритметичке прогресије.

$d$ разлика између чланова аритметичке прогресије.

$n$ број чланова аритметичке прогресије.

$S_{n}$ збир n чланова аритметичке прогресије.

${\overline {n}}$ средња вредност аритметичког низа.

онда је

1. $\ a_{n}=a_{1}+(n-1)d,$

2. $\ a_{n}=a_{m}+(n-m)d.$

3. $S_{n}={\frac {n}{2}}[2a_{1}+(n-1)d].$

4. $S_{n}={\frac {n(a_{1}+a_{n})}{2}}$

5. ${\overline {n}}$ = $S_{n}/n$

6. ${\overline {n}}={\frac {a_{1}+a_{n}}{2}}.$

Види још

• Аритметичко-геометријски низ
• Генералисана аритметичка прогресија - је скуп целих бројева конструисан као да је аритметичка прогресија, али уз неколико разлика.
• Хармонијска прогресија
• Херонијски троуглови са странама у аритметичкој прогресији
• Проблеми који се односе на аритметичке прогресију
• Атоналност

Литература

• Sigler, Laurence E. (trans.) (2002). Fibonacci's Liber Abaci. Springer-Verlag. стр. 259-260. ISBN 978-0-387-95419-6. 

Спољашње везе

• Hazewinkel Michiel, ур. (2001). „Arithmetic series”. Encyclopaedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1556080104. 
• Weisstein, Eric W. „Arithmetic progression”. MathWorld. 
• Weisstein, Eric W. „Arithmetic series”. MathWorld.