Razmera (geografija)

Razmera ili razmer je odnos između dužine neke duži predstavljene na crtežu (planu, karti) i njoj odgovarajuće dužine u prirodi koja je na crtežu horizontalno projektovana. Razmera se obično predstavlja količnikom 1:n, gde broj n označava koliko puta je puta dužina u prirodi n smanjena (ili ređe, povećana). To je brojna razmera, koja se uvek izražava u vidu razlomka, kod koga je brojilac jednak jedinici.

Razmere u metrima i miljama.

Pri upoređenju dve razmere (R₁, R₂) za jednu se kaže da je krupnija ako je njen broj n₁ manji od broja n₂ druge razmere, i obratno, za drugu razmeru R₂ kaže se da je sitnija ako je n₂ > n₁. Izbor razmere zavisi od: namene crteža (plana), od uslovljene tačnosti tog crteža; od vrste, veličine i oblika crteža, kao i od međusobnog odnosa objekata koje treba predstaviti. Razmera predstavljena u grafičkom obliku naziva se razmernik.

Ako je region karte dovoljno mali da zanemari zakrivljenost Zemlje, kao što je plan grada, onda se jedna vrednost može koristiti kao razmera bez izazivanja grešaka u merenju. Na kartama koje pokrivaju veća područja ili celu Zemlju, razmera karte može biti manje korisna ili čak beskorisna u merenju udaljenosti. Projekcija karte postaje kritična u razumevanju kako razmera varira na mapi. Kada se razmera primetno razlikuje, to se može uzeti u obzir kao faktor razmere. Tisotova indikatrisa se često koristi za ilustraciju varijacije skale tačaka na mapi.

Istorija

Osnove za kvantitativno skaliranje karte sežu u drevnu Kinu sa tekstualnim dokazima da je ideja skaliranja karte bila shvaćena u drugom veku pre nove ere. Drevni kineski geodeti i kartografi su imali dovoljno tehničkih resursa koji su se koristili za izradu karata kao što su štapovi za brojanje, stolarski kvadrati, visak, šestari za crtanje krugova i nišanske cevi za merenje nagiba. Referentni okviri koji postuliraju nastali koordinatni sistem za identifikaciju lokacija su nagovestili drevni kineski astronomi koji su podelili nebo na različite sektore ili lunarne lože.

Kineski kartograf i geograf Pej Sju iz perioda Tri kraljevstva kreirao je skup mapa velikih površina koje su nacrtane u razmeri. On je proizveo skup principa koji su naglašavali važnost doslednog skaliranja, merenja pravca i prilagođavanja merenja zemljišta na terenu koji je bio mapiran.

Karte velikih razmera sa zanemarenom krivinom

Područje u kome se zemlja može smatrati ravnim zavisi od tačnosti merenja. Ako se meri samo do najbližeg metra, onda je zakrivljenost Zemlje neuočljiva na meridijanskoj udaljenosti od oko 100 km (62 mi) i na liniji istok-zapad od oko 80 km (na geografskoj širini od 45 stepeni). Ako se posmatra na najbliži 1 mm (0,039 in), onda je zakrivljenost neprimetna na meridijanskoj udaljenosti od oko 10 km i na liniji istok-zapad od oko 8 km. Dakle, plan grada Njujorka tačan do jednog metra ili plan gradilišta tačan do jednog milimetra bi zadovoljili gore navedene uslove za zanemarivanje zakrivljenosti. Oni se mogu tretirati premeravanjem u ravni i mapirati crtežima u razmeri na kojima su bilo koje dve tačke na istoj udaljenosti na crtežu na istoj udaljenosti na tlu. Prave rastojanja na tlu se izračunavaju merenjem udaljenosti na mapi, a zatim množenjem inverznim razlomkom skale ili, ekvivalentno, jednostavnim korišćenjem razdelnika za prenošenje razdvajanja između tačaka na mapi na skalu na mapi.

Skala poena (ili određena skala)

Kao što je dokazano Gausovom teoremom izvrsnosti, sfera (ili elipsoid) se ne može projektovati na ravan bez izobličenja. Ovo se obično ilustruje nemogućnošću zaglađivanja kore pomorandže na ravnu površinu bez kidanja i deformisanja. Jedini pravi prikaz sfere u konstantnoj skali je druga sfera kao što je globus.

S obzirom na ograničenu praktičnu veličinu globusa, moraju se koristiti karte za detaljno mapiranje. Mape zahtevaju projekcije. Projekcija implicira izobličenje: Konstantno razdvajanje na karti ne odgovara stalnom razdvajanju na terenu. Iako mapa može da prikazuje grafičku skalu trake, razmera se mora koristiti sa razumevanjem da će biti tačna samo na nekim linijama karte. (O tome se dalje govori u primerima u narednim odeljcima.)

Neka je P tačka na geografskoj širini $\varphi$ i geografskoj dužini $\lambda$ na sferi (ili elipsoidu). Neka je Q susedna tačka i neka je $\alpha$ ugao između elementa PQ i meridijana u P: ovaj ugao je azimutni ugao elementa PQ. Neka su P' i Q' odgovarajuće tačke na projekciji. Ugao između pravca P'Q' i projekcije meridijana je smer $\beta$. Generalno, $\alpha \neq \beta$. Komentar: ova precizna razlika između azimuta (na Zemljinoj površini) i smera (na karti) nije univerzalno primećena, mnogi pisci koriste pojmove skoro sinonimno.

Definicija: skala tačake u P je odnos dva rastojanja P'Q' i PQ u granici kojom se Q približava P. Ovo se zapisuje kao

$\mu (\lambda ,\,\varphi ,\,\alpha )=\lim _{Q\to P}{\frac {P'Q'}{PQ}},$

gde notacija označava da je skala tačke funkcija položaja P, a takođe i smera elementa PQ.

Definicija: ako P i Q leže na istom meridijanu $(\alpha =0)$, meridijanska skala je označena sa $h(\lambda ,\,\varphi )$.

Definicija: ako P i Q leže na istoj paraleli $(\alpha =\pi /2)$, paralelska skala je označena sa $k(\lambda ,\,\varphi )$.

Definicija: ako skala tačke zavisi samo od položaja, a ne od pravca, kaže se da je izotropna i konvencionalno se označava njena vrednost u bilo kom smeru faktorom paralelne razmere $k(\lambda ,\varphi )$.

Definicija: Kartografska projekcija se kaže da je konformna ako je ugao između para pravih koje se seku u tački P isti kao ugao između projektovanih linija u projektovanoj tački P', za sve parove pravih koje se seku u tački P. Konformna mapa ima faktor izotropne razmere. Obrnuto, izotropni faktori razmere preko karte impliciraju konformnu projekciju.

Izotropija razmere podrazumeva da su mali elementi podjednako rastegnuti u svim pravcima, odnosno da je sačuvan oblik malog elementa. Ovo je svojstvo ortomorfizma (od grčkog 'pravi oblik'). Kvalifikacija 'mali' znači da se pri nekoj datoj tačnosti merenja ne može otkriti promena u faktoru skale nad elementom. Pošto konformne projekcije imaju izotropni faktor razmere, nazivaju se i ortomorfne projekcije. Na primer, Merkatorova projekcija je konformna, jer je konstruisana da sačuva uglove i njen faktor razmere je izotropan, funkcija samo geografske širine: Merkator očuvava oblik u malim regionima.

Definicija: na konformnoj projekciji sa izotropnom skalom, tačke koje imaju istu vrednost skale mogu se spojiti da formiraju izoskalske linije. One nisu ucrtane na mape za krajnje korisnike, ali se nalaze u mnogim standardnim tekstovima. (Vidi Snajder na stranicama 203—206.)

Vizuelizacija bodovne skale: Elipsno izobličenje

Vinkelova trostruka projekcija sa Tisotovim indikatorom deformacije

Zamislite mali krug na površini Zemlje sa centrom u tački P na geografskoj širini $\varphi$ i geografskoj dužini $\lambda$. Pošto skala tačaka varira sa položajem i smerom, projekcija kruga na projekciji će biti izobličena. Tiso je dokazao da, sve dok distorzija nije prevelika, krug će postati elipsa na projekciji. Generalno, dimenzija, oblik i orijentacija elipse će se promeniti tokom projekcije. Postavljanje ovih elipsa izobličenja na projekciju karte prenosi način na koji se skala tačaka menja na karti. Elipsa izobličenja poznata je kao Tisotova indikatrisa. Primer prikazan ovde je Vinkelova tripel projekcija, standardna projekcija za karte sveta koju je napravilo Nacionalno geografsko društvo. Minimalna distorzija je na centralnom meridijanu na geografskim širinama od 30 stepeni (severna i južna). (Drugi primeri).

Literatura

• Snyder, John P. (1987). Map Projections - A Working Manual. U.S. Geological Survey Professional Paper 1395. United States Government Printing Office, Washington, D.C. 
• „The British Cartographic Society > How long is the UK coastline?”. Arhivirano iz originala 2012-05-22. g. Pristupljeno 2008-12-06. 
• „Reference points and distance computations” (PDF). Code of Federal Regulations (Annual Edition). Title 47: Telecommunication. 73 (208). 1. 10. 2016. Pristupljeno 8. 11. 2017. CS1 održavanje: Format datuma (veza)
• Clairaut, A. C. (1735). „Détermination géometrique de la perpendiculaire à la méridienne tracée par M. Cassini” [Geometrical determination of the perpendicular to the meridian drawn by Jacques Cassini]. Mémoires de l'Académie Royale des Sciences de Paris 1733 (na jeziku: francuski): 406—416. 
• Legendre, A. M. (1806). „Analyse des triangles tracées sur la surface d'un sphéroïde” [Analysis of spheroidal triangles]. Mémoires de l'Institut National de France (na jeziku: francuski) (1st semester): 130—161. 
• Bessel, F. W. (2010) [1825]. . Translated by C. F. F. Karney & R. E. Deakin. „The calculation of longitude and latitude from geodesic measurements”. Astronomische Nachrichten. 331 (8): 852—861. Bibcode:2010AN....331..852K. S2CID 118760590. arXiv:0908.1824 . doi:10.1002/asna.201011352. English translation of Astron. Nachr. 4, 241–254 (1825). Errata. 
• Helmert, F. R. (1964) [1880]. Mathematical and Physical Theories of Higher Geodesy. 1. St. Louis: Aeronautical Chart and Information Center. English translation of Die Mathematischen und Physikalischen Theorieen der Höheren Geodäsie, Vol. 1 (Teubner, Leipzig, 1880). 
• Rapp, R. H. (mart 1993). Geometric Geodesy, Part II (Tehnički izveštaj). Ohio State University. Pristupljeno 2011-08-01. CS1 održavanje: Format datuma (veza)
• Vincenty, T. (april 1975). „Direct and Inverse Solutions of Geodesics on the Ellipsoid with application of nested equations” (PDF). Survey Review. 23 (176): 88—93. doi:10.1179/sre.1975.23.176.88. Pristupljeno 2009-07-11. Addendum: Survey Review 23 (180): 294 (1976). CS1 održavanje: Format datuma (veza)
• Karney, C. F. F. (2013). „Algorithms for geodesics”. Journal of Geodesy. 87 (1): 43—55. Bibcode:2013JGeod..87...43K. S2CID 119310141. arXiv:1109.4448 . doi:10.1007/s00190-012-0578-z(open access). Addenda. 
• Karney, C. F. F. (2013). „GeographicLib”. 1.32. 
• Rapp, R, H (1991). Geometric Geodesy, Part I (Izveštaj). Ohio Start Univ. hdl:1811/24333. 
• Bowring, B. R. (1981). „The direct and inverse problems for short geodesics lines on the ellipsoid”. Surveying and Mapping. 41 (2): 135—141. 
• Lambert, W. D (1942). „The distance between two widely separated points on the surface of the earth”. J. Washington Academy of Sciences. 32 (5): 125—130. 
• „Archived copy” (PDF). Arhivirano iz originala (PDF) 2014-08-27. g. Pristupljeno 2014-08-26. 
• Ahl, Valerie; Allen, Timothy F. H. (1996). Hierarchy theory: a vision, vocabulary, and epistemology. New York: Columbia University Press. ISBN 0231084803. OCLC 34149766. 
• Giampietro, Mario; Allen, Timothy F. H.; Mayumi, Kozo (decembar 2006). „The epistemological predicament associated with purposive quantitative analysis”. Ecological Complexity. 3 (4): 307—327. doi:10.1016/j.ecocom.2007.02.005. CS1 održavanje: Format datuma (veza)
• Kovacic, Zora; Giampietro, Mario (decembar 2015). „Empty promises or promising futures? The case of smart grids”. Energy. 93 (Part 1): 67—74. doi:10.1016/j.energy.2015.08.116. CS1 održavanje: Format datuma (veza)
• Serrano-Tovar, Tarik; Giampietro, Mario (januar 2014). „Multi-scale integrated analysis of rural Laos: studying metabolic patterns of land uses across different levels and scales”. Land Use Policy. 36: 155—170. doi:10.1016/j.landusepol.2013.08.003. CS1 održavanje: Format datuma (veza)