Prava (linija)

Prava linija (prava) je jedan od osnovnih geometrijskih pojmova, čija se indirektna (posredna) definicija daje u aksiomatskoj izgradnji kursa geometrije. Prava linija Euklidove ravni se može definisati kao geometrijsko mesto tačaka čije Dekartove koordinate (ili afine) zadovoljavaju jednačinu: $ax+by+c=0$ , gde brojevi $a,b,c$ nisu istovremeno svi jednaki nuli. Nemački naučnik G. Lajbnic je pravu liniju definisao kao liniju koja deli ravan na dva kongruentna dela, međutim pod ovu definiciju potpadaju i druge linije - na primer, sinusoida i svaka pravilna izlomljena linija čija su svaka dva segmenta na preskok - paralelna.

Crvene i plave linije na ovom grafikonu imaju isti nagib (gradijent); crvene i zelene linije imaju isti y-presek (prelaze y-osu i na istom mestu).

Reprezentacija jednog linijskog segmenta.

Pojam linije ili prave linije uveli su antički matematičari da bi predstavili ravne objekte (tj. objekte bez zakrivljenosti) sa zanemarivom širinom i dubinom. Linije su idealizacija takvih objekata. Sve do 17. veka, linije su bile definisane kao „[…] prva vrsta količine koja ima samo jednu dimenziju, naime dužinu, bez ikakve širine i dubine, i nije ništa drugo do tok ili protok tačke koja […] će otići iz svog zamišljenog pomeranja nekog ostataka dužine, izuzimajući bilo koju širinu. […] Prava linija je ona koja je podjednako dugačka između svojih tačaka.”^[1]

Euklid je opisao liniju kao „dužinu bez širine” koja „leži jednako u odnosu na tačke na sebi”; on je uveo nekoliko postulata kao osnovna nedokaziva svojstva iz kojih je konstruisao svu geometriju, koja se danas naziva Euklidova geometrija^[2]^[3]^[4]^[5]^[6] da bi se izbegla pometnja sa drugim geometrijama koje su uvedene od kraja 19. veka (poput neeuklidske,^[7]^[8] projektivne i afine geometrije ).

U modernoj matematici, s obzirom na mnoštvo geometrija, koncept linije je usko povezan sa načinom na koji je geometrija opisana. Na primjer, u analitičkoj geometriji, linija u ravni je često definisana kao skup tačaka čije koordinate zadovoljavaju datu linearnu jednačinu, dok u apstraktnijim postavkama, poput geometrije insidentnosti, linija može biti nezavisni objekt, različit od skup tačaka koje leže na njemu.

Kada je geometrija opisana skupom aksioma, pojam linije se obično ostavlja nedefinisanim (takozvani primitivni objekt). Svojstva linija zatim se određuju aksiomima koji se odnose na njih. Jedna prednost ovog pristupa je fleksibilnost koju on daje korisnicima geometrije. Stoga se u diferencijalnoj geometriji linija može tumačiti kao geodezik (najkraći put između tačaka), dok je u nekim projektivnim geometrijama linija dvodimenzionalni vektorski prostor (sve linearne kombinacije dva nezavisna vektora). Ova fleksibilnost se proteže i izvan matematike i, na primer, omogućava fizičarima da razmišljaju o putanji svetlosnog zraka kao o liniji.

Analitičke definicije

Prikaz prave linije u koordinatnom sistemu

Prava se u pravougaonom koordinatnom sistemu može zadati na jedan od tri načina:

Pomoću odsečka b na ordinati i ugla $\alpha$ koji gradi prava sa pozitivnim pravcem apscise.

Jednačina prave je

y=mx+b\,

, gde je

m=\tan \alpha \,

i često se zove opšta jednačina prave. Obično se kod ovakve jednačine

m

zove koeficijent pravca, a

b

je odsečak ordinate.

Pomoću odsečaka b i c koje prava odseca na koordinatnim osama.

Jednačina prave gde je

{\frac {y}{b}}+{\frac {x}{c}}=1

se zove segmentska.

Pomoću njenog odstojanja do koordinatnog početka p i ugla $\omega$ koji gradi to odstojanje sa pozitivnom stranom apscise.

Normalna jednačina prave se zove jednačina oblika

y\sin \omega +x\cos \omega -p=0\,

Antičke definicije

Euklidovi Elementi, knjiga I

Definicija 2: Linija je dužina bez širine
Definicija 3: Krajevi linije su tačke
Definicija 4: Prava linija je ona, koja za tačke na njoj podjednako leži

Arhimed, O lopti i valjku, knjiga I

Aksioma 1: Od svih linija sa istim krajevima prava linija je najkraća.

Prava u tri i višedimenzionalnom prostoru

Prava u prostoru $R^{n}$ se definiše kao skup tačaka (uređenih n-torki) $a=(a_{1},\dots ,a_{n})$ koje zadovoljavaju jednačinu:

$a=P+\lambda {\overrightarrow {v}}$ , gde su:

$P=(p_{1},\dots ,p_{n})\in R^{n}$ - proizvoljna tačka prave.
${\overrightarrow {v}}=(v_{1},\dots ,v_{n})\in R^{n}$ - vektor koji označava pravac prave. Može se predstaviti i kao vekotor između bilo koje dve proizvoljne ali različite tačke prave. Ako tačke nisu različite, ovaj vektor će biti nula-vektor, što će značiti da je $a$ u stvari samo tačka $P$ .
$\lambda \in R$ - parametar.

Parametarska jednačina prave bi izgledala ovako:

$a_{1}=p_{1}+\lambda v_{1}\;;\;a_{2}=p_{2}+\lambda v_{2}\;;\;\dots \;;\;a_{n}=p_{n}+\lambda v_{n}$

Ako se parametar λ eliminiše, dobijaju se kanonske jednačine prave:

${\frac {a_{1}-p_{1}}{v_{1}}}={\frac {a_{2}-p_{2}}{v_{2}}}=\dots ={\frac {a_{n}-p_{n}}{v_{n}}}$

Prava i tačka u prostoru dimenzije 3 ili veće

Recimo da su date jedna tačka P i jedna prava a = A + αv pri čemu $P,A,{\overrightarrow {v}}\in R^{n}\;,\;\alpha \in R$ . Mogući položaji među njima su:

Tačka je van prave, tj. ne postoji α za koje je P = A + αv
Tačka je na pravoj, tj. postoji α za koje je P = A + αv

Rastojanje tačke od prave

Rastojanje tačke od prave se predstavlja kao dužina najkraćeg puta od tačke do prave. Korisna je činjenica da je dužina ovog puta jednaka rastojanju između tačke P i njene projekcije P', na a. Ova tačka se nalazi preko činjenica da tačka P' pripada pravoj i da je vektor PP' normalan na vektor prave v.

$P'=A+\alpha v$
${\overrightarrow {PP'}}\cdot v=0$ (v. skalarni proizvod)

Odavde se da odrediti vrednost α i tada je P' = A+ αv. Rastojanje prave od tačke će biti jednako rastojanju P od P' iliti intenzitetu vektorra PP' to jest $d(P,a)=|PP'|$ . Ukoliko je vrednost ovog izraza nula, to je još jedan način za pokazivanje da se tačka P nalazi na pravoj a.

Rastojanje tačke od prave u R³

Specijalno u $R^{3}$ bi važilo:

$d(P,a)={\frac {|{\overrightarrow {AP}}\times v|}{|v|}}$ (v. vektorski proizvod i intenzitet vektora).

Dve prave u prostoru dimenzije 3 ili veće

Dve prave a = A + αv i b = B + βu u $R^{n}$ mogu da zauzimaju sledeće položaje, jedna u odnosu na drugu:

mogu biti identične, ako $(A\in b\lor B\in a)\land v=ku,k\in R\setminus \left\{0\right\}$ .
mogu biti paralelne, ako $(A\notin b)\land v=ku,k\in R\setminus \left\{0\right\}$
mogu da se seku, ukoliko važi $v\neq ku,k\in R\setminus \left\{0\right\}$ i jednačina A + αv = B + βu ima jednoznačno rešenje po α i β. Tačka preseka I će u ovom slučaju biti -{I = A + αv = B + βu}
могу бити мимоилазне, уколико важи $v\neq ku,k\in R\setminus \left\{0\right\}$ али једначина -{A + αv = B + βu} nema rešenja.

Specijalno u $R^{3}$ se $v=ku,k\in R\setminus \left\{0\right\}$ može zameniti sa $v\times u=0$ .

Rastojanje dve paralelne prave

Rastojanje dve paralelne prave se da odrediti kao rastojanje proizvoljne tačke P jedne od dve prave od njene projekcije P' na drugu pravu. Dakle recimo da je P u stvari A od prave a. Sada se traži njena projekcija $A'=B+k{\overrightarrow {v}},k\in R\;\land \;AA'\bot v$ . Iz ovih uslova se da naći koeficijent k a sa njime je i A' određeno. Rastojanje između tačaka A i A' će biti jednako rastojanju među paralelnim pravama a i b.

Rastojanje dve paralelne prave u R³

U trodimenzionalnom prostoru je ovaj postupak nešto lakši. Ako su dve prave a i b sa početka poglavlja paralelne, njihovo rastojanje je jednako visini paralelograma koga grade vektori ${\overrightarrow {AB}}$ i ${\overrightarrow {v}}$ . Ona se da dobiti kao količnih površine ovog paralelograma (intenzitet vekgorskog proizvoda) i intenziteta vektora v.

$d(a,b)={\frac {|{\overrightarrow {AB}}\times {\overrightarrow {v}}|}{|{\overrightarrow {v}}|}}$

Rastojanje dve mimoilazne prave

Rastojanje dve mimoilazne prave je u stvari minimalno rastojanje između tačaka koje ih čine. Jedan od načina da se ono nađe je da se predstavi vektor između njih, i potom nađe za koje parametre pravih će njegova veličina biti minimalna. Nazovimo ovaj vektor w, i opšte tačke pravih a i b imenima P i Q. One će biti:

$P=A+\alpha v=(A_{1}+\alpha v_{1},A_{2}+\alpha v_{2},...,A_{n}+\alpha v_{n}),\alpha \in R$ $Q=B+\beta u,\beta \in R$

Intenzitet vektora ${\overrightarrow {AB}}$ će biti $|{\overrightarrow {AB}}|=f(\alpha ,\beta )={\sqrt {(A_{1}+\alpha v_{1}-B_{1}-\beta u_{1})^{2}+\dots +(A_{n}+\alpha v_{n}-B_{n}-\beta u_{n})^{2}}}$ . Kako koren ne utiče na vrednost koju parametri α i β imaju pri maksimalnoj vrednosti izraza, koren se ovde može izbaciti. Sledeći korak bi bilo traženje prvih izvoda izraza $f(\alpha ,\beta )$ po α i po β. Tako će se dobiti sistem od dve jednačine sa dve nepoznate, α i β, koji se da rešiti.

${\begin{cases}f(\alpha ,\beta )'_{\alpha }\\f(\alpha ,\beta )'_{\beta }\end{cases}}$

Kada se odavde dobijene vrednosti α i β vrate u jednačine pravih a i b, rezultujuće koordinate će predstavljati tačke, nazovimo ih $P_{0}$ i $Q_{0}$ , čije rastojanje je minimalno rastojanje između ove dve prave.

$d(a,b)=d(P_{0},Q_{0})$ .

Rastojanje dve mimoilazne prave u R³

Specijalno u slučaju $R^{3}$ je situacija jednostavnija i da se rešiti preko mešovitog proizvoda. Ako su dve prave sa početka poglavlja, a i b, mimoilazne, onda će važiti $|[{\overrightarrow {AB}},{\overrightarrow {v}},{\overrightarrow {u}}]|\neq 0$ , jer je to zapravo zapremina paralelopipeda koje čine ova dva vektora prave i vektor između njihove dve proizvoljne tačke. Kako je vektorski proizvod $|u\times v|$ površina osnove ovog paralelopipeda, a njegova visina upravo minimalno rastojanje među mimoilaznim pravama, može se reći da je minimalno rastojanje među mimoilaznim pravama u $R^{3}$ :

$d(a,b)={\frac {|[{\overrightarrow {AB}},{\overrightarrow {v}},{\overrightarrow {u}}]|}{|u\times v|}}$

Poluprava

Neka je na pravoj a data tačka O. Tada je za svaku drugu tačku Z prave a:

O < Z, ili Z < O

Ako je O < Z, onda nije Z < O

Za sve tačke X ≠ O prave a skup a bez tačke O podijeljen u dve klase tačaka, jednu klasu tačaka čine tačke za koje je X < O, a drugu za koje je O < Y.

Za obe ove klase postoje tačke A i B takve da je A < O i O < B

Skup tačaka prave koje leže sa iste strane date tačke O te prave nazivamo otvorena poluprava, tačka O je početak te poluprave. Ako otvorenoj polupravoj priključimo tačku O dobijamo zatvorenu polupravu. Svaka tačka prave deli pravu na dve otvorene i dve zatvorene poluprave, za koje kažemo da su suprotne. Produženje duži AB nazivamo onu polupravu prave AB kojoj je početak tačka B, a kojoj pripada tačka A. Za dve poluprave kažemo da imaju isti smer ako se jedna od tih polupravih sadrži u drugoj, u protivnom imaju suprotan smer.

Reference

^ In (rather old) French: "La ligne est la première espece de quantité, laquelle a tant seulement une dimension à sçavoir longitude, sans aucune latitude ni profondité, & n'est autre chose que le flux ou coulement du poinct, lequel […] laissera de son mouvement imaginaire quelque vestige en long, exempt de toute latitude. […] La ligne droicte est celle qui est également estenduë entre ses poincts." Pages 7 and 8 of Les quinze livres des éléments géométriques d'Euclide Megarien, traduits de Grec en François, & augmentez de plusieurs figures & demonstrations, avec la corrections des erreurs commises és autres traductions, by Pierre Mardele, Lyon, MDCXLV (1645).
^ Coxeter, H.S.M. (1961). Introduction to Geometry. New York: Wiley.
^ Eves, Howard (1963). A Survey of Geometry. Allyn and Bacon.
^ Bunt, Lucas Nicolaas Hendrik; Jones, Phillip S.; Bedient, Jack D. (1988). The Historical Roots of Elementary Mathematics. Dover.
^ Busard, H.L.L. (2005). „Introduction to the Text”. Campanus of Novara and Euclid's Elements. Stuttgart: Franz Steiner Verlag. ISBN 978-3-515-08645-5.
^ Callahan, Daniel; Casey, John (2015). Euclid's "Elements" Redux.
^ Eves, Howard (2012), Foundations and Fundamental Concepts of Mathematics, Courier Dover Publications, str. 59, ISBN 9780486132204, „We also owe to Lambert the first systematic development of the theory of hyperbolic functions and, indeed, our present notation for these functions.”
^ Ratcliffe, John (2006), Foundations of Hyperbolic Manifolds, Graduate Texts in Mathematics, 149, Springer, str. 99, ISBN 9780387331973, „That the area of a hyperbolic triangle is proportional to its angle defect first appeared in Lambert's monograph Theorie der Parallellinien, which was published posthumously in 1786.”

Literatura

Coxeter, H.S.M (1969). Introduction to Geometry (2nd izd.). New York: John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-18283-2.
Faber, Richard L. (1983). Foundations of Euclidean and Non-Euclidean Geometry. New York: Marcel Dekker. ISBN 978-0-8247-1748-3.
Pedoe, Dan (1988). Geometry: A Comprehensive Course. Mineola, NY: Dover. ISBN 978-0-486-65812-4.
Wylie, Jr., C. R. (1964). Foundations of Geometry. New York: McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-072191-3.
Baker, Henry Frederick (1923), Principles of geometry. Volume 3. Solid geometry. Quadrics, cubic curves in space, cubic surfaces., Cambridge Library Collection, Cambridge University Press, str. 56, ISBN 978-1-108-01779-4, MR 2857520 . Reprinted 2010.
Jones, Alfred Clement (1912). An Introduction to Algebraical Geometry. Clarendon. str. 390.
David Hilbert The Foundations of Geometry. The Open Court Publishing Company 1950, p. 4

Spoljašnje veze

Weisstein, Eric W. „Line”. MathWorld.
Equations of the Straight Line at Cut-the-Knot
Citizendium Arhivirano na sajtu Wayback Machine (4. jul 2022)
Hazewinkel Michiel, ur. (2001). „Line (curve)”. Encyclopaedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1556080104.

[1] In (rather old) French: "La ligne est la première espece de quantité, laquelle a tant seulement une dimension à sçavoir longitude, sans aucune latitude ni profondité, & n'est autre chose que le flux ou coulement du poinct, lequel […] laissera de son mouvement imaginaire quelque vestige en long, exempt de toute latitude. […] La ligne droicte est celle qui est également estenduë entre ses poincts." Pages 7 and 8 of Les quinze livres des éléments géométriques d'Euclide Megarien, traduits de Grec en François, & augmentez de plusieurs figures & demonstrations, avec la corrections des erreurs commises és autres traductions, by Pierre Mardele, Lyon, MDCXLV (1645).

[2] Coxeter, H.S.M. (1961). Introduction to Geometry. New York: Wiley.

[3] Eves, Howard (1963). A Survey of Geometry. Allyn and Bacon.

[4] Bunt, Lucas Nicolaas Hendrik; Jones, Phillip S.; Bedient, Jack D. (1988). The Historical Roots of Elementary Mathematics. Dover.

[5] Busard, H.L.L. (2005). „Introduction to the Text”. Campanus of Novara and Euclid's Elements. Stuttgart: Franz Steiner Verlag. ISBN 978-3-515-08645-5.

[6] Callahan, Daniel; Casey, John (2015). Euclid's "Elements" Redux.

[7] Eves, Howard (2012), Foundations and Fundamental Concepts of Mathematics, Courier Dover Publications, str. 59, ISBN 9780486132204, „We also owe to Lambert the first systematic development of the theory of hyperbolic functions and, indeed, our present notation for these functions.”

[8] Ratcliffe, John (2006), Foundations of Hyperbolic Manifolds, Graduate Texts in Mathematics, 149, Springer, str. 99, ISBN 9780387331973, „That the area of a hyperbolic triangle is proportional to its angle defect first appeared in Lambert's monograph Theorie der Parallellinien, which was published posthumously in 1786.”

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]