Matematička konstanta

Matematička konstanta je veličina, najčešće realni broj ili kompleksni broj, koja se pojavljuje u matematičkim formulama kao srazmera među veličinama.^[1] Uobičajeno je da se celi brojevi ne razmatraju kao posebne matematičke konstante već su to skoro uvek transcendentni brojevi koji se ne mogu predstaviti u nekom zatvorenom obliku, kao polinomi racionalnih brojeva.

Osnovne matematičke konstante

Arhimedova konstanta $π$

Obim kruga sa prečnikom 1 je

π

.

Konstanta $π$ (pi) ima prirodnu definiciju u Euklidovoj geometriji (kao odnos između obima i prečnika kruga), ali se može naći na mnogim mestima u matematici: na primer, Gausov integral u kompleksnoj analizi, koreni jedinice u teoriji brojeva, i Košijeve raspodele u verovatnoći. Međutim, njena sveprisutnost nije ograničena na čistu matematiku. Ona se pojavljuje u mnogim formulama u fizici, a nekoliko fizičkih konstanti je najprirodnije definisano sa $π$ ili njegovom recipročnom faktoru. Diskutabilno je, međutim, da su ova pojavljivanja fundamentalna u bilo kojem smislu. Na primer, u udžbeničko nerelativističko osnovno stanje talasne funkcije atoma vodonika je

\psi (\mathbf {r} )={\frac {1}{(\pi a_{0}^{3})^{1/2}}}e^{-r/a_{0}},

gde je $a_{0}$ Borov radijus. Ova formula sadrži $π$ , ali nije jasno da li je ta konstanta fundamentalna u fizičkom smislu, ili je to samo odraz prisustva $π$ u izrazu ${4\pi r^{2}}$ za površinu sfere sa radijusom $r$ . Dalje, ova formula daje samo približan opis fizičke stvarnosti, jer izostavlja spin, relativnost i kvantnu prirodu samog elektromagnetnog polja. Isto tako, prisustvo $π$ u formuli Kulonovog zakona u SI jedinicama zavisi od izbora jedinica, i istorijska je slučajnost vezana za to kako je Đovani Đorđi u praksu elektromagnetizma uveo takozvanu permitivnost slobodnog prostora 1901. godine. Tačno je da kada su izabrane različite konstante u jednom odnosu, pojava $π$ u drugim odnosima je neizbežna, ali ta pojava je uvek iz matematičkog razloga kao u primeru gornje talasne funkcije atoma vodonika, a ne a fizičkog.

Numerička vredsnost $π$ je približno 3,1415926536 (sekvenca A000796 u OEIS).

Ojlerov broj $e$

Eksponencijalni rast (zeleno) opisuje mnoge fizičke fenomene.

Ojlerov broj $e$ , takođe poznat i kao konstanta eksponencijalnog rasta, pojavljuje se u mnogim oblastima matematike, a jedna moguća definicija njene vrednosti je sledeći izraz:

e=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}

Na primer, švajcarski matematičar Jakob Bernuli je otkrio da se $e$ javlja u složenoj kamati: račun koji počinje od $1 i donosi kamatu po godišnjoj stopi $R$ sa kontinuiranim sjedinjavanjem, na kraju će se akumulirati u $e R$ dolara. Konstanta $e$ takođe ima prmene u teoriji verovatnoće, gde nastaje na način koji nije očigledno povezan sa eksponencijalnim rastom. Ako se pretpostavi da se slot mašina sa verovatnoćom pobede igra $n$ puta. Tada je za veliko $n$ (kao što je milion) verovatnoća da se ništa neće dobiti približno $1/ e$ i teži ovoj vrednosti kad $n$ teži beskonačnosti.

Druga primena $e$ , koju je delom otkrio Jakob Bernuli, zajedno sa francuskim matematičarem Pjerom Remonom de Monmorom, nalazi se u problemu rastrojstva, poznatom i kao problem provere šešira.^[2] Ovde je $n$ gostiju pozvano na zabavu, a na vratima svaki gost preda svoj šešir batleru koji ih zatim smešta u obeležene kutije. Batler ne zna imena gostiju, pa ih mora staviti u nasumično odabrane kutije. De Monmorov problem je: kolika je verovatnoća da nijedan šešir ne bude stavljen u korektnu kutiju. Odgovor je

p_{n}=1-{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}-{\frac {1}{3!}}+\cdots +(-1)^{n}{\frac {1}{n!}}

i kako $n$ teži beskonačnosti, $p n$ se približava $1/ e$ .

Numerička vrednosti od $e$ je približno 2,7182818284 (sekvenca A001113 u OEIS).

Tabela matematičkih konstanti

Korišćene oznake:

I — iracionalan broj, A — algebarski broj, T — transcedentan broj, ? — nepoznata

Gen — uopšteno, NuT — Teorija brojeva, ChT — Teorija haosa, Com — Kombinatorika, Inf — Teorija informacija, Ana — Matematička analiza

Simbol	Približna vrednost	Ime	Područje	N	Prvi put opisana	Broj poznatih decimala
π	≈ 3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288	Pi, Arhimedova konstanta ili Ludolfov broj	Gen, Ana	T	?	1,241,100,000,000
e	≈ 2.71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249	Napijerova konstanta, osnova prirodnog logaritma	Gen, Ana	T		50,100,000,000
√2	≈ 1.41421 35623 73095 04880 16887 24209 69807	Pitagorina konstanta, kvadratni koren iz dva	Gen	I,A		137,438,953,444
√3	≈ 1.73205 08075 68877 29352 74463 41505	Teodorusova konstanta, kvadratni koren iz tri	Gen	I,A
γ	≈ 0.57721 56649 01532 86060 65120 90082 40243	Ojler-Mašeronijeva konstanta	Gen, NuT	?		108,000,000
φ	≈ 1.61803 39887 49894 84820 45868 34365 63811	Zlatni odnos	Gen	A		3,141,000,000
β^*	≈ 0.70258	Ebre-Trefetenova konstanta	NuT
δ	≈ 4.66920 16091 02990 67185 32038 20466 20161	Fajgenbaumova konstanta	ChT
α	≈ 2.50290 78750 95892 82228 39028 73218 21578	Fajgenbaumova konstanta	ChT
C₂	≈ 0.66016 18158 46869 57392 78121 10014 55577	Konstanta dvojnog prostog broja	NuT			5,020
M₁	≈ 0.26149 72128 47642 78375 54268 38608 69585	Majzel-Mertensova konstanta	NuT		1866 1874	8,010
B₂	≈ 1.90216 05823	Brunova konstanta za dvojne proste brojeve	NuT		1919	10
B₄	≈ 0.87058 83800	Brunova konstanta za proste kvadruplete	NuT
Λ	> – 2.7 · 10⁻⁹	Brujin-Njumanova konstanta	NuT		1950?
K	≈ 0.91596 55941 77219 01505 46035 14932 38411	Katalonova konstanta	Com			201,000,000
K	≈ 0.76422 36535 89220 66	Landau-Ramanudžanova konstanta	NuT	I (?)		30,010
K	≈ 1.13198 824	Višnavatova konstanta	NuT			8
B´_L	≈ 1.08366	Ležandrova konstanta	NuT
μ	≈ 1.45136 92348 83381 05028 39684 85892 027	Ramanudžan-Soldnerova konstanta	NuT			75,500
E_B	≈ 1.60669 51524 15291 763	Erdes-Borvajnova konstanta	NuT	I
Ω	?	Čejtinova konstanta	Inf	T
β	≈ 0.28016 94990	Bernštajnova konstanta	Ana
λ	≈ 0.30366 30029	Gaus-Kuzmin-Virzingova konstanta	Com		1974	385
D(1)	≈ 0.35323 63719	Hafner-Sarnak-MekKerlijeva konstanta	NuT		1993
λ μ	≈ 0.62432 99885	Golomb-Dikmanova konstanta	Com NuT		1930 1964
	≈ 0.62946 50204	Kahenova konstanta
	≈ 0.66274 34193	Laplasova granica
	≈ 0.80939 40205	Aladi-Frinstedova konstanta	NuT
Λ	≈ 1.09868 58055	Lengjelova konstanta	Com		1992
	≈ 1.18656 91104	Kinčin-Levijeva konstanta	NuT
	≈ 1.20205 69031 59594 28539 97381	Aperijeva konstanta			1979	1,000,000,000
θ	≈ 1.30637 78838 63080 69046	Milsova konstanta	NuT	?	1947
	≈ 1.45607 49485 82689 67139 95953 51116 54356	Bekhausova konstanta
	≈ 1.46707 80794	Porterova konstanta	NuT		1975
	≈ 1.53960 07178	Libova konstanta kockice leda (original od 05.03.2005)	Com		1967
	≈ 1.70521 11401 05367	Nivenova konstanta	NuT		1969
	≈ 2.58498 17596	Sjerpinskijeva konstanta
	≈ 2.68545 2001	Kinčinova konstanta	NuT	?	1934	7350
F	≈ 2.80777 02420	Fransen-Robinsonova konstanta	Ana
L	≈ .5	Landauova konstanta	Ana			1

Reference

^ Weisstein, Eric W. „Constant”. MathWorld. Pristupljeno 13. 4. 2011.
^ Grinstead, C.M.; Snell, J.L. „Introduction to probability theory”. str. 85. Arhivirano iz originala 27. 07. 2011. g. Pristupljeno 9. 12. 2007.

Spoljašnje veze

Stiven Finčova strana matematičkih konstanti: https://web.archive.org/web/20031204213209/http://pauillac.inria.fr/algo/bsolve/constant/constant.html
Stiven Finčov alternativni indeks: https://web.archive.org/web/20031001222618/http://pauillac.inria.fr/algo/bsolve/constant/table.html
Zavijer Gurdonova i Paskal Sebaova strana brojeva, matematičkih konstanti i algoritama:
http://numbers.computation.free.fr/Constants/constants.html
Sajmon Plufov invertor: https://web.archive.org/web/20050812010306/http://pi.lacim.uqam.ca/eng/
CECM-ov Inverzni simbolički kalkulator: https://web.archive.org/web/20031008114227/http://www.cecm.sfu.ca/projects/ISC/
Constants – from Wolfram MathWorld
On-Line Encyclopedia of Integer Sequences (OEIS)
Steven Finch's page of mathematical constants (BROKEN LINK)
Steven R. Finch, "Mathematical Constants," Encyclopedia of mathematics and its applications, Cambridge University Press (2003).

[mathworld-1] Weisstein, Eric W. „Constant”. MathWorld. Pristupljeno 13. 4. 2011.

[2] Grinstead, C.M.; Snell, J.L. „Introduction to probability theory”. str. 85. Arhivirano iz originala 27. 07. 2011. g. Pristupljeno 9. 12. 2007.

[1]

[2]